Comme il existe a priori une infinité de façons de déformer les produits tensoriels classiques via un ensemble indénombrable de cubes et un nombre indéfini de manières de décomposer un produit tensoriel déformé donné, la découverte de méthodes en livrant les décompositions semble dès les premiers instants être un défi particulièrement difficile à relever.
Pour tenter de mettre un peu d’ordre dans cette démarche, je propose une classification des méthodes qui pourront être mises au point :
Le qualificatif « intrinsèque » désigne ici toute démarche considérant le système (S) déjà rencontré au cours des prémisses de la discussion concernant les « décompositions triviales » (rappel) :
| ⊗A(a, b) > = [P]. | b > + | z > ∈ E*(D, K)
L'énoncé classique
Soit un ensemble de D combinaisons linéaires écrites en fonction des D composantes de la cible. Cet ensemble constitue un système (S) tel que :
[M]. |b> = |y>
Le problème classique considère la paire ([M], y) de M(D, K) x E(D, K) comme connue et il cherche à découvrir une inconnue b dans E(D, K) :
b = ?
L’analogie formelle entre une décomposition et un système classique saute aux yeux. Puisqu’il existe toujours au moins une décomposition triviale, une décomposition quelconque s’écrit :
{AΦ(a) - [P]}. | b > = | z >
En posant :
[M] = AΦ(a) - [P] y = z
Il est possible d’avoir l’illusion de se trouver face à un énoncé classique. Cette apparence est trompeuse.
La question dite (E)
Au sein d’une discussion étudiant les décompositions d’un produit tensoriel déformé, il n’est pas question de découvrir les composantes de la cible.
Les données connues sont : le cube déformant A, le projectile a et la cible b.
Les inconnues sont la partie principale [P] et la partie résiduelle z de la décomposition dont l’existence est présumée.
Ainsi, ici, il convient de lire le système (S) avec un autre regard que les couleurs tentent de matérialiser :
| ⊗A(a, b) > = [P]. | b > + | z > ∈ E*(D, K)
Du fait de l’existence systématique d’au moins une décomposition triviale, le système (S) peut toujours se réécrire :
{AΦ(a) - [P]}. | b > = | z >
La ressemblance formelle avec un système classique ne permet qu’une seule chose, à savoir comprendre l’importance de la polynomiale :
Λ(a) = |AΦ(a) - [P]|
Je présente une première illustration du calcul de cette quantité au cours de l'exposé de la résolution de la question (E) dans les espaces de dimension deux.
Définition – Méthode intrinsèque de décomposition d’un produit tensoriel déformé.
Toute méthode mathématique capable de découvrir les paires ([P], z) avec la seule aide des données connues : A, a et b.
Définition – Méthode extrinsèque de décomposition d’un produit tensoriel déformé.
Toute méthode mathématique capable de découvrir les paires ([P], z) avec la seule aide des données connues : A, a et b et d’une donnée extérieure supplémentaire, par exemple une forme bilinéaire représentée par un élément [B] de M(D, K).
Définition – Méthode de décomposition d’un produit tensoriel déformé par montée à la dimension supérieure
ou par descente à la dimension inférieure.
La question (E) ayant une solution connue en dimension D, toute méthode permettant d’en déduire une solution dans un sous-espace de dimension D - 1 ou dans un espace de dimension D + 1 englobant celui dans lequel la solution connue existe.