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© Thierry PERIAT
Décomposition
Un produit tensoriel déformé par un cube A défini sur un espace vectoriel bâti sur un corps commutatif K de dimension D et agissant sur une paire (a, b) de E(D, K) x E(D, K) est décomposé lorsqu’il existe une paire ([P], z) de M(D, K) x E(D, K) telle qu’il est possible d’écrire dans l’espace dual E*(D, K) :
| ⊗A(a, b) > = [P]. | b > + | z > ∈ E*(D, K)
Dans ce qui suit, K sera souvent le corps des nombres réels R ou celui des nombres complexes C.
Décomposition triviale
Une décomposition est dite « triviale » chaque fois que sa partie vectorielle est nulle.
Décomposition non-triviale
Une décomposition est dite « non-triviale » chaque fois que sa partie vectorielle n’est pas nulle.
Inspirée par celle qui est communément utilisée quand on parle des divisions sur les nombres, la sémantique suivante s’applique aux décompositions des produits tensoriels déformés.
Projectile
Il s’agit du premier argument de la paire (a, b) sur laquelle le produit tensoriel déformé agit ; en l’occurrence ici le vecteur a.
Cible
Il s’agit du second argument de la paire (a, b) sur laquelle le produit tensoriel déformé agit ; en l’occurrence ici le vecteur b.
Partie principale d’une décomposition.
Il s’agit de la partie matricielle de la décomposition ; en l’occurrence la matrice [P].
Partie résiduelle d’une décomposition.
Il s’agit de la partie vectorielle de la décomposition ; en l’occurrence le vecteur z.
Il n’y a aucune difficulté à montrer qu’il en existe toujours au moins une, la plus simple :
| ⊗A(a, b) > = AΦ(a). | b > + | 0 > ∈ E*(D, K)
Avec :
AΦ(a) = [Aχαβ. aα] ∈ M(D, K)
Par un raisonnement relativement simple, il est possible de montrer la non-unicité contre-intuitive des décompositions triviales.
Supposons qu’il existe a priori au moins une autre décomposition triviale notée [P] pour un produit tensoriel déformé donné, il est alors possible d’écrire :
| ⊗A(a, b) > = [P]. | b > + | 0 > = {[P] - AΦ(a)}. | b > + AΦ(a). | b > + | 0 >
Mais comme :
| ⊗A(a, b) > = AΦ(a). | b > + | 0 >
L’autre décomposition triviale dont l’existence est présumée se trouve forcément être assujettie à respecter la condition :
{[P] - AΦ(a)}. | b > = | 0 >
L’éventualité d’une cible nulle (b = 0) doit être repositionnée au sein de l’étude des décompositions d’un produit tensoriel déformé nul. Comme elle ne permet pas de préciser le formalisme de la matrice [T] mais qu’elle n’en empêche pas l’existence, il existe une infinité de décompositions triviales.
Dans tous les autres cas (la cible n’est pas nulle), il existe un certain nombre de décompositions triviales soumises à la seule contrainte :
Λ(a) = |[P] - AΦ(a)| = 0K
Il revient au même de dire que « le discriminant du système (S) des D combinaisons linéaires écrites en fonction des D composantes de la cible b :
|⊗A(a, b) > - [P]. | b > = | z >
… doit être nul ».
Ou, équivalemment, que ce système est dégénéré. Inversement, si le système (S) existe et qu’il est dégénéré alors son discriminant est nul.
La nature des cubes déformants a bien évidemment une influence non négligeable sur les détails des développements des calculs. Le sujet est traité un peu plus loin sur ce site.