Horloge astronomique de Prague
Le mot a été introduit sur la page précédente ; mais de quoi s'agit-il vraiment ? L'anticommutativité est un concept totalement étrange dont on se demande s'il a une réalité la première fois qu'on y est confronté. Ce sentiment tient au fait que, s'il pouvait s'appliquer aux nombres entiers - mais heureusement il ne le peut pas, il se traduirait par exemple par une relation incompréhensible du genre :
2.3 + 3.2 = 0 ; absurde, impensable !
Pourtant les matrices carrées lui donnent corps et la physique également à chaque fois qu'interviennent certains opérateurs quantiques. Dans ce contexte il n’est plus insensé d’écrire :
[A].[B] + [B].[A] = [0]
Divers dictionnaires (Larousse, Wikipédia, etc.) s'entendent pour dire du mot « anticommutativité » qu'il décrit la propriété mathématique de fonctions binaires (synonyme : impliquant deux arguments) d'inverser le signe du résultat en même temps que le positionnement des arguments sur lesquels elles agissent. Par exemple, pour un ensemble de matrices carrées muni de l’opération binaire « produit de deux matrices » :
[A].[B] → [C]
[B].[A] → - [C]
Parce que la vocation de ces dictionnaires est surtout littéraire, ils ne détaillent souvent pas cette aptitude.
Ils ne précisent par exemple pas la structure dont doit être doté l'ensemble des éléments constituant les paires d’argument sur lesquelles ces fonctions agissent.
Une analyse logique de la définition de l’anticommutativité « livrer un résultat de signe opposé » met en exergue le fait que l’ensemble des résultats obtenus grâce à cette opération binaire qui pourrait génériquement s’écrire « * » est implicitement doté d’une addition et d’un neutre additif, c’est-à-dire d’un zéro.
De sorte que si l’ensemble des résultats est encore situé à l’intérieur de l’ensemble des arguments interagissant via l’opération *, cet ensemble d’arguments contient un sous-ensemble tacitement muni d’une structure de groupe additif.
Les discussions sur l’anticommutativité concernent des ensembles notés symboliquement {E, +, *} qui sont tels qu’au moins une partie de leurs éléments satisfait la relation :
∃ (a, b) ∈ {E, +, *} : a * b + b * a = 0E
Il semble que ce concept soit apparu comme un sous-produit naturel des travaux du mathématicien Hermann Grassmann (1809 - 1877) dans son traité de 1844 [01].
Il y invente le produit (vectoriel) extérieur qui se trouve être à la fois associatif et anticommutatif. L'existence et l'action de ce produit sur les éléments de certains ensembles les équipent d'une structure dite d'algèbre extérieure. L'intention initiale de cette démarche consistait à décrire des caractéristiques géométriques à l'aide de vecteurs et d'opérations sur ces vecteurs. Un souci partagé par O. Rodrigues et W.R. Hamilton et qui les a menés à inventer les quaternions pour pouvoir décrire les rotations dans un espace de dimension trois de manière mathématique.
William Kingdon Clifford (1845 - 1879) unifie en 1878 [02] les travaux des deux précédents et fonde les algèbres géométriques (désormais dites de Clifford).
Par ailleurs, il se trouve que toutes les algèbres associatives peuvent être munies d'un crochet de (Sophus) Lie (1842 - 1899). Tout crochet de Lie définit une opération anticommutative sur n’importe quel ensemble {F, +, ₼} même si l’opération ₼ n’est pas anticommutative. En effet, puisque (i) par définition :
[a, b] = a ₼ b - b ₼ a
Et (ii) l’addition est une opération binaire commutative, il est facile de vérifier que :
[a, b] + [b, a] = (a ₼ b – b ₼ a) + (b ₼ a – a ₼ b) = (a ₼ b + b ₼ a) - (b ₼ a + a ₼ b) = 0E
Sans doute comme une conséquence indirecte de l'avènement de la géométrie algébrique en particulier, et du développement des mathématiques en général, plusieurs discussions fondamentales apparaissent.
A) Sur les notations mathématiques symboliques ; plus généralement sur la problématique de la représentation des objets et des concepts mathématiques.
Toute l'introduction du travail historique de Heaviside [03] résumant la théorie de J. C. Maxwell à quatre équations vectorielles consiste par exemple à expliquer pourquoi les écritures cartésiennes (dues à Descartes) et les notations vectorielles semblent mieux appropriées qu'un exposé faisant usage des quaternions.
Dans le même état d'esprit, il convient certainement de rappeler les efforts du mathématicien Giuseppe Peano (1858 - 1932) visant à exprimer les théorèmes dans un langage symbolique unifié [04]. Il est un des fondateurs de la logique mathématique et de la théorie des ensembles.
Ces exemples illustrent à l'envie le fait que le langage mathématique, tout comme les langues vivantes, évolue. Sa stabilisation et sa normalisation constituent un préalable à une compréhension des documents produits ou publiés par un plus large public. Il est vrai que les premières écoles de mathématiciens avaient pris pour habitude de tenir leurs réflexions secrètes. L'utilisation de symboles pour traduire les idées et les premiers résultats d'une pensée articulée coïncident finalement avec la naissance de l'écriture.
B) Sur la notion de structure mathématique [05].
C) Sur l'existence possible de diverses géométries [06].
[01] Grassmann, H. : Die Wissenschaft der extensiven Größe oder die Ausdehnungslehre, eine neue mathematische Disziplin; Verlag Otto Wigand, Leipzig 1844.
[02] Clifford, W. K.: Applications of Grassmann's Extensive Algebra. American Journal of Mathematics. 1, 350-358. doi.org/10.2307/2369379. 1878.
[03] Heaviside, O.: XI. On the Forces, Stresses, and Fluxes of Energy in Electromagnetic Field (June 1891 - Mai 1892), pp. 423-480 ; [online (pdf)] : Royal Society Publishing: doi/10.1098/rsta.1892.0011/1272264/rsta.1892.0011 [seen: 8 June 2026].
[04] Peano, G.: Formulario Mathematico (1908), Torino, Fratres Bocca Editores.
[05] Cartan, É. : Sur la structure des groupes infinis de transformation ; Annales scientifique de l'É.N.S. 3ème série, tome 21 (1904), p.153-206.
[06] Hilbert, D. : Grundlage der Geometrie, Festschrift 1899; © Springer Verlag Berlin Heidelberg, 2015, ISBN 978-3-662-45568-5, 268 pages au total (texte original et commentaires).