La maison d'Hades

Il est temps de faire un premier point sur les connaissances acquises jusque-là sur les quaternions ; qu'avons-nous vu ?

1) Un bref historique ;

2) Une manière particulière de les écrire :

∀ q ∈ H, q = a + < ⁽³⁾h, ⁽³⁾q > = (a, < ⁽³⁾h, ⁽³⁾q >)

⁽³⁾q ∈ E(3, R) ≡ (b, c, d) ∈ R³

⁽³⁾h ≡ (i, j, k) ∈ Im(H)³

3) Leur table de multiplication ;

4) La possibilité de représenter chacun d'eux à l'aide d'une matrice - voir comment sur la page introduisant les champs électromagnétiques. En particulier les diverses propriétés de ces représentations matricielles sur la page ...

5) La possibilité de porter une importance particulière à l'ensemble des quaternions dont la partie réelle est nulle ; ils constituent l'ensemble des quaternions purement imaginaires Im(H). En particulier, le produit de deux quaternions purement imaginaires n'est plus systématiquement un quaternion purement imaginaire. 

∀ q, q' ∈ Im(H) ⇒ q.q' ∉ Im(H)

6) Le fait qu'un sous-ensemble de paires de quaternions anticommutent et que l'ensemble des quaternions anticommutant avec d'autres est noté symboliquement Anticom(H).

∀ q, q' ∈ Anticom(H) : q.q' + q'.q = {q, q'} = 0

Cette page souhaite explorer intensivement l'ensemble Anticom(H).

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La multiplication est une opération commutative sur les nombres réels ; ces nombres ne peuvent donc pas faire partie d'Anticom(H).

A partir du moment où cette exploration se limite aux quaternions dont les composantes sont réelles, le calcul générique mené ci-dessus permet de prouver que les seuls quaternions de ce type à pouvoir anticommuter sont nécessairement (i) soit le quaternion nul ; (ii) soit des éléments d'Im(H) dont les représentations vectorielles sont perpendiculaires entre elles.

(i) :

∀ q ∈ H : q.0 + 0.q = 0 

Le point (i) est donc démontré. 

(ii) :

∀ q, q' ∈ im(H) :

q.q' + q'.q

=

(0, < h, q >). (0, < h, q' >) + (0, < h, q' >). (0, < h, q >)

=

(- < q, q' >, < h, q ∧ q’ >) + (- < q', q >, < h, q' ∧ q >)

=

- 2. (< q, q' >, < h, 0 >)

Cette quantité ne peut être nulle que si :

< q, q' > = 0 ⇔ q ⊥ q' 

Bien que cette remarque subsidiaire ne soit pas d'une grande utilité : ces situations incluent le quaternion purement imaginaire mais nul.

Le point (ii) est donc démontré. 

Sont-ce là les seules situations possibles ?

La section présentant les quaternions à composantes complexes a démontré combien cette notion n'avait rien de simple et d'intuitif. Notemment, elle a insisté sur le fait qu'il existe trois types de nombres complexes imaginaires : les ensembles C(i), C(j) et C(k). Elle a également indiqué au travers d'une combinaison linéaire de ces trois types de nombres que la construction intuitive d'un quaternion à composantes complexes aboutissait in fine à celle d'un quaternion classique à composantes réelles ; ceci, grâce à l'usage de la table de multiplication des i, j et k.

Il est clair que la construction d'une telle combinaison linéaire ne représente qu'un moyen parmi une infinité d'autres combinaisons permettant de lier les trois types de nombres complexes imaginaires. Par conséquent, les conclusions de la page ayant présenté ce sujet n'ont qu'une portée indicative et pédagogique. Il n'est pas certain que la notion de quaternions à composantes complexes puisse se limiter aux propos tenus sur la page précédente.

En particulier, et c'est une idée que je reprends sur la page suivante, l'existence de trois types de nombres complexes imaginaires invite à considérer des triplés constitués de ces nombres. 

Le calcul générique mené ci-dessus invite :

1) à définir un sous-ensemble de triplés à composantes complexes sans préciser à laquelle des trois familles C(i), C(j) et C(k), ou à quelle combinaison d'éléments de celles-ci, elles appartiennent. 

2) à lever cette imprécision en considérant l'espace R x C(i) x C(j) x C(k) dont les éléments ont une composante réelle, a, et trois composantes complexes (b, c, d) caractérisées par le fait que la somme des quatre carrés est nulle :

∀ a ∈ R, 

∀ ⁽³⁾q ∈ E(1, C(i)) x  E(1, C(j)) x  E(1, C(k)) ⇔ (b, c, d) ∈ {C(i) x C(j) x C(k)} - {0}

a² + b² + c² + d² = 0

Reprenant la terminologie introduite par E. Cartan à leur sujet, cette manière de procéder définit un sous-ensemble de vecteurs isotropiques ; c'est-à-dire des vecteurs qui ne sont pas obligatoirement nuls mais dont le produit scalaire euclidien par eux-même est nul :

< ⁽⁴⁾q, ⁽⁴⁾q > = 0

Pour découvrir les propriétés particulières de ces vecteurs dans un espace de dimension trois, il suffit de faire un détour par la page traitant les territoires de Jacobi.

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