Les pages précédemment consacrées à l’explication de ce que sont les quaternions ont traité sans le dire clairement la version historique de ces nombres. Ils ont une particularité : leurs composantes sont des nombres réels.
Certains ouvrages dissertant sur le sujet envisagent des quaternions à composantes complexes.
Est-il possible de donner vie à ce concept ? Si oui : sous quelles conditions et comment ? C’est ce que j'explore ici. Le sujet s'avère bien plus compliqué que l'intuition le laisse penser.
C'est une bonne question à laquelle plusieurs réponses peuvent être données.
Premièrement, au motif naturel et simple que la mathématique adore tenter de généraliser et d’extrapoler les concepts qui fonctionnent sur un ensemble donné à des ensembles plus vastes englobant le précédent.
Deuxièmement parce que les quaternions réels induisent des questionnements dont les réponses dépendent du domaine d’appartenance de leurs composantes.
Il existe une illustration relativement banale de ces questionnements : la caractérisation de la nullité du carré d’un quaternion à composantes réelles. Ce carré vaut en général :
q2
= (q0, < h, q >)2
= ((q0)2 - < q, q >, 2.q0. <h, q >)
Pour qu’il soit nul, il faut et suffit que sa partie réelle et sa partie imaginaire soient simultanément nulles ; ce qui se traduit par :
(q0)2 - < q, q > = 0(R)
2. q0. q = 0
La nullité de la partie imaginaire n’est réalisée que dans deux cas.
Première éventualité : ce quaternion est un nombre réel pur. Il revient au même de dire que sa partie vectorielle est nulle :
q = 0
Il en résulte que le quaternion dont le carré est étudié et supposé nul vaut :
q = q0 ∈ R
Le carré de ce nombre réel ne peut être nul que si la partie réelle du quaternion étudié est nulle.
{ q ∈ R et q2 = 0R } ⇒ q = 0R
Seconde éventualité, ce quaternion est purement imaginaire :
q ∈ Im(H).
Il revient au même de dire que sa partie réelle est nulle :
q0 = 0(R).
Le quaternion q dont le carré est étudié ne peut alors être nul que si le produit scalaire euclidien de sa partie vectorielle q par elle-même est nulle.
C’est l’endroit exact où la problématique du domaine d’appartenance des composantes de ce quaternion apparaît.
En effet, à partir du moment où ces composantes sont des nombres réels, le carré du quaternion étudié ne peut être nul que si sa partie vectorielle est également nulle.
{ q0 = 0(R), q ∈ E(3, R), q2 = 0(H) }
⇓
< q, q > = 0(R)
⇓
q = 0
⇓
q = 0(H)
La conclusion reste identique à celle résultant de la première éventualité, même si le chemin logique y menant diffère.
Le carré du quaternion nul à composantes réelles est égal à lui-même ; il est nul.
Inversement, si le carré d’un quaternion à composantes réelles est nul, c’est que ce quaternion-là était le quaternion nul.
Le lemme 01 ne s'applique plus aux quaternions dont les composantes appartiennent au corps commutatif des nombres complexes C. Pourquoi ?
Réponse
A supposer a priori que ce type de quaternions existe (ce qui n'est pas certain), il s'écrivent intuitivement :
q = a + b.i + c.j + d.k a, b, c, d ∈ C
Les relations caractérisant la nullité du carré d'un tel quaternion restent formellement identiques à celles qui ont été écrites ci-dessus pour un quaternion classique (synonyme : à composantes réelles).
Il convient là-aussi de considérer les deux éventualités analysées précédemment. La première aboutit à la même conclusion. Ce n’est pas le cas de la seconde parce que :
{q0 = 0(C), q ∈ E(3, C), q2 = 0(H)}
⇓
< q, q > = 0(C)
⇓
q ∈ SpinE(3, C)
Le nouveau domaine de définition des composantes du quaternion étudié fait entrer de plein pied cette exploration dans l’univers des spineurs d’un espace de dimension trois. La théorie en a été développée de manière avant-gardiste par E. Cartan au cours du premier quart du vingtième siècle [01].
Le carré du quaternion nul à composantes complexes est égal à lui-même : il est nul.
En revanche l’inverse de cette affirmation est faux car des quaternions non-nuls à composantes complexes dont le carré est le quaternion nul semblent pouvoir exister.
Est-ce vraiment le cas ? La formulation intuitive de quaternions à composantes complexes a-t-elle un sens ?
La simplicité apparente avec laquelle le questionnement précédent a trouvé une réponse cache un énorme problème : celui d’une définition cohérente et unifiée de la notion de quaternion à composantes complexes ; pourquoi ?
Il est connu que les quaternions à composantes réelles peuvent être interprétés comme des nombres complexes doubles (des bi-complexes) puisque grâce à leur table de multiplication, ils peuvent toujours s’écrire :
q = a + b.i + c.j + d.k = (a + b.i) + j.(c – i.d)
Mais ils pourraient tout aussi bien s’écrire :
q = a + b.i + c.j + d.k = (a + c.j) + k.(d – j.b)
Etc. Il existe donc de multiples manières de décomposer un quaternion à composantes réelles donné en une paire de nombres complexes.
La situation empire en envisageant (pour le moment de manière virtuelle) l’existence de quaternions à composantes complexes. La première difficulté fondamentale tient au fait que la théorie des quaternions à composantes réelles introduit trois nombres imaginaires purs (i.e. : les i, j, k) distincts qui tous ont un carré égal à moins un. A cause de cela, il devient en principe possible de créer trois types de nombres complexes :
z1 = a1 + i.b1 ∈ C(i), a1, b1 ∈ R
z2 = a2 + j.b2 ∈ C(j), a2, b2 ∈ R
z3 = a3 + k.b3 ∈ C(k), a3, b3 ∈ R
La question de savoir « comment construire des quaternions à composantes complexes ? » se pose et doit donc être étudiée dans ce contexte.
Comme je l'ai déjà signalé plus haut, une extrapolation intuitive consisterait à écrire naïvement :
q = a + b.i + c.j + d.k a, b, c, d ∈ C
Mais ce serait faire fi de la coexistence des trois images de l’ensemble des nombres complexes : C(i), C(j) et C(k) ! Ecrire que les composantes a, b, c et d sont des nombres complexes ne veut donc rien dire de suffisamment précis. L’écriture extrapolant directement et naïvement le formalisme des quaternions à composantes réelles n’a pas de sens.
En conséquence de quoi la raison qui avait justifié d'envisager des quaternions à composantes complexes se trouve fragilisée (voir plus haut la question de la caractérisation des quaternions dont le carré est nul.
Il faut donc trouver un autre moyen d’introduire les nombres complexes dans une discussion centrée initialement sur l’étude de la version historique des quaternions.
Un choix parmi une infinité d’autres consiste à considérer l’ensemble des combinaisons linéaires et réelles de ces trois types de nombres complexes :
q = c1. z1 + c2. z2 + c3. z3 c1, c2, c3 ∈ R
Toute combinaison de ce type est un quaternion à composantes réelles ; en effet, elle vaut :
q = (c1. a1 + c2. a2 + c3. a3) + i. c1. b1 + j. c2. b2 + k. c3. b3
Cette manière de procéder implique tacitement trois vecteurs d’un espace vectoriel réel de dimension trois :
a : (a1, a2, a3) ∈ E(3, R)
b : (b1, b2, b3) ∈ E(3, R)
c : (c1, c2, c3) ∈ E(3, R)
Et le quaternion à composantes réelles obtenu s’écrit de manière condensée :
q = (< c, a >, < h, c • b >)
Où « • » désigne l'opération de glissement d'un vecteur sur l'autre.
La connaissance d'un triplé de nombres complexes, chacun étant d'un type différent équivaut à celle de trois vecteurs a, b, c d’un espace vectoriel réel de dimension trois E(3, R).
Chaque combinaison linéaire de ce genre de triplés permet toujours de construire un quaternion à composantes réelles.
A proprement parler, la construction en question ne définit pas des quaternions à composantes complexes mais elle établit une correspondance entre les quaternions à composantes réelles et des triplés de nombres complexes.
(z1, z2, z3) ∈ C(i) x C(j) x C(k) ⊂ E(3, C)
↓↑
(a, b, c) ∈ E^3(3, R)
⇓
∃ q
=
c1. z1 + c2. z2 + c3. z3
=
(< c, a >, < h, c • b >)
∈ H
Le quaternion réel résultant d'une combinaison linéaire du genre exposé ci-dessus est un imaginaire pur lorsque les vecteurs c et a sont perpendiculaires :
c ⊥ a ⇔ < c, a > = 0
⇓
q
=
c1. z1 + c2. z2 + c3. z3
=
(0, < h, c • b >)
∈ Im(H)
C'est le sujet abordé plus haut sur cette page qui a suscité l'envie de s'intéresser aux quaternions ayant des composantes complexes.
Comme les tri-complexes construits au cours de la section précédente ne constituent qu'un sous-ensemble particulier des quaternions classiques, le lemme 01 s'applique à eux.
Seul le quaternion nul a un carré nul et la discussion sur le carré nul est close.
Mais elle en ouvre indirectement une autre se posant la question de dénombrer les éléments (a, b, c) de l'espace vectoriel E^3(3, R) dont la représentation est le quaternion classique nul.
Or un élément de l'ensemble de ce type de quaternions est nul chaque fois que ces trois vecteurs sont liés par les deux relations :
c • b = 0 et < c, a > = 0
La première contient les huit situations :
c = 0 ∀ b
c : (0, 0, c3) b : (b1, b2, 0)
c : (0, c2, 0) b : (b1, 0, b3)
c : (c1, 0, 0) b : (0, b2, b3)
c : (0, c2, c3) b : (b1, 0, 0)
c : (c1, 0, c3) b : (0, b2, 0)
c : (c1, c2, 0) b : (0, 0, b3)
∀ c b = 0
Elles ont en commun d'induire l'orthogonalité des arguments de la paire de vecteurs (c, b) :
c • b = 0 ⇒ < c, b > = 0
La concomitance avec la seconde relation d'orthogonalité entre c et a ainsi que la manière dont se réalise l'orthogonalité de la paire (c, b) induisent en particulier l'existence d'un nombre réel φ tel que :
∃ φ ∈ R : b = φ. a
Finalement, les triplés de vecteurs recherchés ont le formalisme très précis :
(a, φ. a, c) : c ⊥ a, φ ∈ R
Il est possible d'en déduire les triplés de nombres complexes associés avec le quaternion classique nul.