La maison d'Hades

Comme je l’ai expliqué dans le premier chapitre du livret « Le vide de J.C. Maxwell » (voir la page « Le creuset »), il existe des densités volumiques de force dans les régions vides situées loin des sources (masses, charges électriques) dès le moment où les lois de l’électromagnétisme s’y appliquent.

La démonstration se déroule dans un contexte géométrique et physique tout à fait fidèle à ce que les contemporains de ce physicien écossais pouvaient s’imaginer.

La technique de démonstration fait appel (i) aux produits vectoriels classiques, (ii) à la projection de ceux-ci dans l’espace dual de l’espace vectoriel E(3, R) rapporté à une base orthonormée directe de dimension trois, et (iii) à la décomposition triviale de ces projections.

Ce protocole peut donc potentiellement être généralisé à plusieurs niveaux : (i) en déformant les produits vectoriels, (ii) en projetant les produits vectoriels déformés dans l’espace dual de manière plus sophistiquée, et (iii) en décomposant ces projections de façon non-triviales.

Ce sont les sujets que je vais présenter dans les pages suivantes.

Il y a dans notre environnement tridimensionnel quotidien deux opérations essentielles sur les vecteurs. Elles sont fréquemment utilisées par les mathématiciens et ce, depuis plusieurs siècles. 

La première s'appelle le produit scalaire parce que le produit de deux vecteurs d'un espace vectoriel E(3, R) "fournit" un élément de R qui est un corps commutatif dont les éléments sont appelés des scalaires. 

La seconde est une opération liant deux vecteurs de ce même espace E(3, R) de telle sorte que le résultat est obtenu par l'usage de ce que le langage populaire appelle parfois la "règle du tire-bouchon". 

Dans les faits, nous savons bien que ces deux opérations sont liées entre elles par les règles de la trigonométrie euclidienne.

Les travaux de Gauss et Riemann aboutissent à définir des extrapolations de la première de ces deux opérations. 

Le produit scalaire est définissable par rapport à une géométrie. Les informations de la géométrie sont contenues dans une matrice carrée (D – D) ; D représente l’entier naturel non nul supérieur à un de l’espace vectoriel dans lequel la discussion prend place.

Ainsi désormais, soit a et b deux éléments quelconques d’un espace vectoriel réel de dimension D, E(D, R), rapporté à une géométrie définie par une matrice [G] de M(D, R), le produit scalaire de ces deux vecteurs dans ces circonstances-là s’écrit :

< a, b >_[G] = ∑ g_αβ. a^α. b^β 

Les travaux généralisant le produit scalaire euclidien classique ne disent rien sur la manière de généraliser la définition du produit vectoriel à des espaces de dimension D.

La théorie des produits tensoriels déformés est une tentative visant à définir une extension pour cette opération. J'ai nommé l’ensemble des travaux réalisés autour de cette thématique : "La théorie de la question (E)". Le premier pas se trouve dans le document mis à disposition sur cette page. Il définit les produits tensoriels déformés, les produits tensoriels alternés déformés et les produits vectoriels déformés.

Il serait cependant inexact de penser que le sujet n’a pas déjà été traité au sein des mathématiques. La notion de produit tensoriel alterné sert à définir les produits extérieurs. Toutefois comme l’indique le nom de ces produits, l’image du produit extérieur de deux vecteurs pris dans un espace de dimension D ne se situe pas dans l’espace source ; exception faite du cas où D = 3.

L’énoncé le plus simple de la question (E) peut être généralisé aux espaces vectoriels de dimension entière et finie D à condition de définir les notions de produits tensoriels déformés, de produits tensoriels déformés et alternés et de produits de Lie déformés. Elles sont d’ailleurs liées entre elles ; voir le document .pdf sur cette page.

Mais pour un premier exposé, il suffit de rester dans un environnement apparemment tri-dimensionnel. Je justifierai ce qualificatif (apparemment) un peu plus loin.

∀ X, Y ∈ E(3, K), ∃ ? ([P], Z) :

 |[X, Y]_[A]> = [P].|Y> + |Z>

Le formalisme de cet énoncé suffit à évoquer la notion de torsion (translation plus rotation et vis-versa) ; elle en est d’ailleurs la motivation première.

Les torsions jouent un rôle important en physique mathématique, notamment au travers des transformations de Lorentz. 

Pour autant, les réponses apportées à la question montrent qu’il serait erroné d’en limiter la portée à ce seul domaine des mathématiques ; voir les pages suivantes, par exemple celle sur les développements limités de fonctions vectorielles.

Page mise à jour le 04 septembre 2026