La maison d'Hades

 Sur la page cherchant à découvrir un contexte mathématique facilitant la résolution de la question des décompositions des produits tensoriels déformés, j’ai exploré les développements limités à l’ordre deux inclus d’une fonction numérique dépendante de plusieurs variables réelles et évoqué la possibilité formelle de les relier à la question posée ; voir la page précédente.

Ici je suggère la possibilité de lier les développements limités au premier ordre d’une fonction vectorielle F(x) dépendante de plusieurs variables réelles avec la théorie de la question (E).

Le développement limité au premier ordre d’une seule fonction numérique dépendante de plusieurs variables s’écrit :

df(u) = < ∇_uf(u), du > + 0(2)

La limitation de l’ordre du développement (p = 1) n’empêche pas de généraliser les propos tenus sur la page considérant les développements limités à l’ordre deux inclus de ces fonctions.

Il convient pour cela de considérer l’ensemble F(F^m(V, K) ; K^m) des fonctions de m fonctions numériques dépendantes de D variables réelles : F(V ; K) dans K^m. 

La discussion concerne alors m variations :

df_a(u) = < ∇_uf_a(u), du > + 0_a(2)    

 a = 1, 2, …, m ∈ N

Elle permet d’introduire une fonction vectorielle F telle que :

F(u) ∈ E(m, K)

≡ (…, f_a(u), …) ∈ K^m

≡ | F(u) > = | f_a(u) > ∈ M_K(m, 1)

Et d’écrire : 

| dF(u) > = T2(o)(∇_u, F(u)). | du > + | 0(2) >

Attention, le vecteur du a D composantes et la démarche implique m fonctions f_a (a = 1, …, m).

Par conséquent, en général, la table de Pythagore apparaissant là est un élément de l’ensemble M(m x D ; K) des matrices dont les entrées sont réelles et comptant m lignes mais D colonnes. D et m ne sont pas nécessairement égaux. Leur égalité éventuelle constitue un cas particulier intéressant.

Le formalisme de la variation de la fonction vectorielle F(u) à l'ordre un évoque également la manière dont j’ai défini génériquement les décompositions d’une famille de produits tensoriels déformés.

Cette analogie formelle suggère donc elle aussi la question de l’existence de paires (A’, a’) permettant d’écrire la relation ci-dessous :

∃ ? (A’, a’) : dF(u) = ⊗_A’(a’, du) 

Quand tel est le cas, une jonction avec la théorie de la question (E) peut être établie en posant simplement :

[P] = T₂(o)(∇_u, F(u))

b = du

z = 0(2)

1) En restreignant les considérations précédentes au cas d'un espace vectoriel de dimension trois (D = 3) et aux ensembles de trois fonctions numériques de trois variables réelles (m = 3), il devient en principe possible de commencer à discuter en détail des décompositions des produits vectoriels.

 En effet ces produits sont des produits tensoriels déformés par des cubes antisymétriques sur leurs indices bas, in extenso des éléments de ⊞^-(3, K).

Voir le chapitre dédié aux décompositions dans les espaces de dimension trois.

2) Il sera ensuite intéressant de se pencher sur la question suivante :

« Le calcul des variations ordinaires d’ordre un de la fonction vectorielle F peut-il être remplacé par le calcul d’un produit vectoriel classique ? » 

Plus précisément : existe-t-il un élément q de E(3, R) permettant d’écrire :

dF(u) = q ∧ dx + 0(2) ?

© Thierry PERIAT

Page mise à jour le 14 octobre 2026