La maison d'Hades

 Ici commence vraiment ce que le livret intitulé « Le vide de J.C. Maxwell » suggérait de faire : décrire les décompositions non forcément triviales de produits vectoriels qui auraient éventuellement été déformés.

La discussion a donc lieu dans un espace vectoriel de dimension trois. Parce qu'il est aujourd'hui normal de considérer que les champs électriques et magnétiques aient des composantes dans le corps commutatif C des nombres complexes, les vecteurs de la discussion qui suit ont également leurs composantes dans ce corps.

Par ailleurs, le but étant de décomposer des produits vectoriels éventuellement déformés, cet exposé peut prendre place dans un sous-chapitre du chapitre des décompositions des produits tensoriels déformés dans un espace de dimension trois caractérisés par le fait que les cubes déformants y sont antisymétriques.

L'objectif de cette page est simple : calculer le discriminant du système associé avec une décomposition éventuelle d'un produit vectoriel déformé. 

Cependant, ici spécifiquement, le cube déformant A est réductible à une matrice déformante [A] ; ce que j'écrirai :

Λ(a) = | _[A]Φ(a) - [P] | 

Comme je vais maintenant le montrer, ce discriminant n'est pas un polynôme de degré trois.

Le discriminant du système associé avec une décomposition éventuellement non-triviale d'un produit vectoriel déformé est un polynôme de degré au plus égal à deux.

 A cause de l'antisymétrie naturelle des produits vectoriels (voir leur définition sur la page ad hoc), déformés ou non, le produit vectoriel d'un vecteur par lui-même - quel que soit ce vecteur- est nul :

∀ [A] ∈ M(3, C), ∀ a ∈ E(3, C) :  [a, a]_[A] = 0

La projection de cette égalité dans l'espace dual s'écrit :

∀ [A] ∈ M(3, C), ∀ a ∈ E(3, C) :  | [a, a]_[A] > = | 0 >

Elle admet toujours au moins la décomposition triviale suivante :

∀ [A] ∈ M(3, C), ∀ a ∈ E(3, C) :  | [a, a]_[A] > = _[A]Φ(a).| a > = | 0 >

De sorte que la dernière égalité à droite de la ligne précédente ne peut être réalisée que dans trois cas :

1) Le vecteur a est nul ; ceci n'a pas beaucoup d'intérêt.

2) La matrice déformante [A] est nulle ; ceci n'a pas d'intérêt non plus.

3) Le système est dégénéré ; il existe une dépendance entre le vecteur a et la matrice déformante [A] ayant pour conséquence :

| _[A]Φ(a) | = 0

Ce cas de figure correspond à la nullité de la partie de degré trois du discriminant du système associé avec n'importe quelle décomposition. Ce discriminant est donc vraisemblablement au plus de degré deux. Il y a deux raisons à cette présomption :

a) La matrice de décomposition de type Φ est le seul objet mathématique de la discussion sur le discriminant impliqué dans la résolution de la question (E) dont le déterminant est une forme multi-linéaire de degré trois pure.

b) La présence de la matrice inconnue [P] ne fait que transformer cette forme multi-linéaire par l'ajout de termes dont le degré est systématiquement inférieur à trois.

Avertissement : La démonstration n'est pas accessible sur les téléphones portables et seulement visible en activant le widget.

A tout produit vectoriel déformé défini sur E(3, C) et pouvant éventuellement être décomposé non-trivialement correspond une forme polynômiale de degré au plus égal à deux écrite en fonction de trois composantes du projectile apparaissant dans ce produit.

Il est raisonnable d'écrire de manière générique que :

∃ ([P], z) ∈ M(3, C) x E(3, C) :

∀ b ∈ E(3, C) : | [a, b]_[A] > = [P].| b > + | z >

⇓

Λ(a)

=

| _[A]Φ(a) - [P] | 

= 

∑_m d_mm.(a^m)² + ∑_m∑_n (d_mn + d_nm).a^m.aⁿ + ∑_m d_m.a^m - | P |

La suite de l'exploration va consister à découvrir quelles paires ([P], z) peuvent raisonnablement être associées avec les données intrinsèques du problème ; voir la page décrivant formellement les diverses méthodes de décomposition.

Page mise à jour le 07/09 et le 08/10 2026