escalier en colimaçon
Puisque nous disposons maintenant d’au moins une façon de déformer les produits vectoriels, la généralisation du travail contenu dans le livret « Le vide de J.C. Maxwell » exige de savoir décomposer ces produits vectoriels déformés et leurs images duales de manière non-triviale. Ici, la discussion a forcément lieu dans un espace de dimension trois.
La démarche impose de préciser deux concepts : (i) celui de décomposition de l’image duale et (ii) celui de trivialité d’une décomposition.
Comme je l'ai déjà mentionné, il existe en quelque sorte un double isomorphisme d’espaces vectoriels entre E(3, K) et son dual E*(3, K) puis entre celui-ci et K3 (produit cartésien).
La démarche de repérage dans l’espace tridimensionnel due à Descartes explique en partie ce fait.
L’espace affine étant rapporté à une origine ponctuelle O, tout point P définit un vecteur OP auquel correspond un triplé de nombres réels (x, y, z).
Le développement de la physique quantique a introduit une notation symbolique matricielle pour représenter les vecteurs de E(3, R) dans R3. Ces représentations sont soit des éléments de M(1, 3), soit des éléments de M(3, 1) ; c’est-à-dire et respectivement : des représentations en ligne notées <OP|, soit des représentations en colonne notées |OP>. C’est « la convention li-col » (ou Bra-ket de la littérature anglo-saxonne). Je me sers dans ce qui suit des représentations en colonne et de la règle de multiplication habituelle des matrices.
Les cours sur les torsions suffisent à comprendre que toute représentation en colonne d’un vecteur donné peut se décomposer de très nombreuses manières selon le schéma suivant :
|OP> = [R].|OQ> + |Q’P>
Ce qui peut se traduire littéralement en disant qu’un vecteur OQ peut subir une rotation sur place (synonyme : l’extrémité O est fixe) dont la matrice [R] de M(3, R) contient toutes les informations. Il en résulte que le vecteur OQ devient un vecteur OQ’. En lui faisant subir une translation Q’P, le résultat final est évidemment un vecteur OP.
La théorie qui me préoccupe et que j’ai baptisée : « Théorie de la question (E) » cherche des réponses à une série de questionnements.
Je suppose que les caractéristiques d’une torsion sont connues. Il revient au même de dire que la paire ([R], |Q’P>) est donnée au départ. La première consiste à se demander ceci :
« Le vecteur OP obtenu par la torsion agissant sur OQ peut-il être le résultat du produit d’un vecteur inconnu OX avec le vecteur OQ :
|OP> = [R].|OQ> + |Q’P> = |OX x OQ> ? »
Dans cet énoncé, tout est connu, sauf le vecteur OX qu’il convient de découvrir. Il s’agit de savoir si une torsion peut être équivalente à un produit vectoriel classique ?
Un deuxième questionnement, inverse du précédent, est le suivant. La paire de vecteurs (OX, OQ) est connue et son produit vectoriel est a priori le résultat d’une torsion. La question devient : « Puis-je découvrir les caractéristiques de cette torsion ? » Dans cette formulation, le problème consiste à découvrir la paire ([R], |Q’P>).
Un troisième questionnement étend le premier et se demande : « Le vecteur OP obtenu par la torsion agissant sur OQ peut-il être le résultat d’un produit du vecteur inconnu OX avec le vecteur OQ déformé par une matrice [A] :
|OP> = [R].|OQ> + |Q’P> = |[OX x OQ][A]> ? »
Il s’agit alors de découvrir la paire ([A], OX).
Le quatrième questionnement inverse la logique du troisième. La paire de vecteurs (OX, OQ) et la matrice déformante [A] sont connus. Je calcule le produit vectoriel déformé [OX, OQ][A].
La question devient : « Puis-je en découvrir des décompositions du genre ([P], z) telles que :
|[OX, OQ][A]> = [P].|OQ> + |z> ? »
Ce sont-là les quelques questions auxquelles j’aimerais apporter des réponses pour étendre les conclusions du travail exposé dans le premier chapitre du livret :
Les prochaines pages vont donc préciser et développer le concept exposé ci-dessus. Il est d'ores et déjà évident que la torsion n'est qu'un des moyens pédagogiques d'introduire le concept de décomposition des produits vectoriels déformés. Comme je le montrerai ultérieurement, ce concept se laisse également relier aux développements limités des fonctions vectorielles et à celui de décomposition orthogonale des vecteurs.
Par ailleurs sur le plan des mathématiques pures, la question de l'existence de décompositions peut se généraliser aux produits tensoriels déformés pour des espaces vectoriels de dimension D entière quelconque supérieure ou égale à deux.
Le cas d'un espace de dimension deux est expliqué à partir d'ici.
Avant d'aborder la recherche généralisée des décompositions dans telle ou telle dimension, je propose de compléter le tableau des connaissances minimales à posséder.
© Thierry PERIAT, page mise à jour le 04 septembre 2026.