Les quaternions, tout comme les octonions dont je ne parlerai pas encore ici peuvent se comprendre comme une sorte d’extension des nombres complexes. C’est la raison pour laquelle j’ai rappelé les caractéristiques essentielles de ces derniers sur une des pages précédentes du site.
Les quaternions (un ensemble traditionnellement désigné par la lettre H) ont été introduits en 1840 par O. Rodrigues [01] et en 1843 par W. R. Hamilton [02].
Il existait quelques éléments précurseurs de données apparaissant dans l’étude des quaternions ; notamment (i) leur module qui est une somme de quatre carrés et (ii) leur partie purement imaginaire si pratique pour décrire les rotations dans un espace de dimension trois.
Concernant leur module, il convient de rappeler l’identité des quatre carrés d’Euler (4 mai 1748) et la formule sur la somme de quatre carrés (théorème de Lagrange prouvant en 1770 la conjecture de Claude Gaspard Bachet de Mériziac formulée en 1621).
Concernant la description des rotations dans l’espace il est juste de se souvenir des efforts d’Olinde Rodrigues (1795 à Bordeaux – 1851 à Paris) cherchant à exprimer la combinaison de deux rotations grâce à des éléments trigonométriques de géométrie sphérique publiés dans les Annales de Gergonne en 1840, trois ans avant R.W. Hamilton.
Ces nombres s’avèrent aujourd'hui très utiles pour décrire les rotations dans l’espace, pour s’y orienter et pour le guidage des satellites [03]. Ils peuvent depuis peu s’intégrer au sein de la théorie de la relativité [04].
La représentation quasi-vectorielle des nombres complexes et son analogie criante avec la géométrie euclidienne suggère une idée :
« Pourquoi ne pas imaginer l’existence de trois nombres purement imaginaires dont les carrés valent moins un ; un nombre par axe d’un espace imaginaire de dimension trois ? »
1) En décidant de nommer ces nombres purement imaginaires : i, j, k ou i1, i2, i3 ;
2) En supposant que les quaternions ont aussi une partie réelle générée par le nombre entier 1 avec laquelle chacun des nombres purement imaginaires commute : 1.i = i.1, 1.j = j.1, 1.k = k.1 ;
3) En partant du principe que la multiplication des générateurs de l’ensemble H est déterminée par la table de multiplication suivante dont on trouve la trace dans diverses références [05] :
. 1 i j k
1 1 i j k
i i -1 k -j
j j -k -1 i
k k j -i -1
Les quaternions ont pour base (1, i, j, k) ou, autre écriture plus condensée : (i0, i1, i2, i3).
Ceci ayant été précisé, les quaternions s’écrivent de diverses manières, selon (i) les auteurs et les références consultées mais et aussi (ii) pour faciliter le rendu de leurs propriétés. Les quelques exemples ci-dessous rendent compte de la multitude des écritures possibles :
1) Peut-être la plus simple et la plus connue [05] :
q = a + b.i + c.j + d.k
2) Une variante les représente sous forme de quadruplés de réel (a, b, c, d) ayant des propriétés très particulières concernant la multiplication [03 ; § 1.1.1].
3) J'utilise préférentiellement la notation inspirée de la référence [06] qui découpe H en un produit cartésien R x ImH où R représente le corps commutatif des réels tandis que ImH symbolise l’espace vectoriel des quaternions purement imaginaires :
q = [a, (h, q)]
Ici a est un nombre réel, h est le vecteur (i, j, k), q est le vecteur ayant (b, c, d) comme composantes réelles dans R^3 et (..., ...) est un produit scalaire.
Il est facile de montrer que si q et q’ sont deux éléments d’ImH, alors :
q.q’ = [0, (h, q)]. [0, (h, q')] = [- (q, q'), (h, q x q’)]
Le produit de deux quaternions purement imaginaires possède une partie réelle et une partie imaginaire.
Le carré d’un quaternion purement imaginaire q est purement réel et il vaut moins une fois le carré de la norme euclidienne du vecteur q :
q^2 = - (q, q) = - ||q||^2
Les propriétés des produits des quaternions purement imaginaires m’ont suggéré une intuition en lien avec certaines situations physiques que je détaille sur la page suivante.
[01] Rodrigues, O. : des lois qui régissent les déplacements d’un système solide dans l’espace, et de la variation des coordonnées provenant de ces déplacements considérés indépendamment des causes qui peuvent les produire ; Journal de Mathématiques Pures et Appliquées (1840) : pages 380-440. En ligne sur le site non sécurisé <eudml.org/doc/234443> [consulté le 30 juillet 2026].
[02] Hamilton, W. R. : Elements of quaternions ; édité par son fils chez Longmans, Green and Cie, Londres, 1866, 866 pages au total (introduction, table des matières, les trois livres et la liste des œuvres publiées à l'époque par la maison d'édition).
[03] Florian Monteghetti. Quaternions, orientation et mouvement. [Rapport de recherche] ISAE-SUPAERO. 2012. ⟨hal-01618257⟩.
[04] Girard, P. : Quaternions, algèbre de Clifford et physique relativiste, Presses Polytechniques Romandes, 2004.
[05] Bordas encyclopédie, 50/51 mathématiques, © Bordas-Éditeurs, 1972, Paris, 184 pages.
[06] Quaternions réels ; Université Pierre et Marie Curie, année 2005-2006. Agrégation externe de Mathématiques.