J’ai expliqué au cours des pages précédentes la démarche intuitive me poussant à postuler l’existence de deux types d’énergies et à penser que les nombres complexes, ainsi que les quaternions, pourraient éventuellement aider à concrétiser cette affirmation.
Je vais donc me mettre à la tâche et tenter de prouver le bien-fondé de mon intuition en l’appliquant aux champs électromagnétiques.
Il semble donc nécessaire de rappeler quelques données indispensables les concernant.
Les équations de J. C. Maxwell font partie des plus anciennes représentations connues des champs électromagnétiques [16]. Les réflexions et les efforts d'O. Heaviside déjà évoqués plus haut dans ce livret [12] ont eu pour effet d'en privilégier une représentation vectorielle cartésienne au sein de laquelle apparaissent des formes différentielles [23 ; section 7.4, p. 355]. Ces formes (divergences, rotationnels, Laplaciens) aident à rendre compte des variations des champs dans l'espace et au cours du temps. L'époque à laquelle ces outils ont été mis au point explique que les premières formulations mathématiques s'effectuent implicitement dans un environnement géométrique tridimensionnel euclidien.
La prise en compte dans les travaux scientifiques de géométries différentes, notamment celle de Riemann [25 - D (1854)], intervient après la publication de la théorie de la gravitation due à A. Einstein [17 - D] ; par exemple par É. Cartan dans [26 - FR (1922)], [27 - FR (1925)].
La fin du dix-neuvième siècle et le début du vingtième correspondent à une période prolifique des mathématiques qui voit éclore, entre autres trouvailles de l'esprit humain, le calcul tensoriel, l'étude des formes bilinéaires différentielles et des surfaces [28 - FR (1889)], la théorie des spineurs [09 - USA]. Cette liste ne prétend pas être complète.
En ce qui concerne spécifiquement l'électromagnétisme, [24 - FR], ces jaillissements de la pensée humaine aboutissent à se rendre compte des avantages qu'il y a à représenter les champs électromagnétiques à l'aide de formes extérieures ; c'est la démarche suivie dans [18 - FR ; § 8, p.15] :
Expression dans laquelle (i) les indices valent 0, 1, 2, 3 ; (ii) le produit vectoriel classique apparaît. L'appartenance de ces composantes au corps commutatif des nombres complexes, C, s'avère être une nécessité permettant par exemple de rendre compte de réalités expérimentales concernant les oscillations des cordes, les courants alternatifs et, plus généralement, les phénomènes ondulatoires [23 - FR].
Les formes quadratiques extérieures peuvent s'incorporer dans l'ensemble des travaux dédiés au calcul tensoriel. Il existe d'ailleurs un « Que sais-je ? » exposant les rudiments nécessaires à comprendre le sujet [20]. Je m’en suis inspiré pour construire les déformations des produits vectoriels ; voir le document joint sur la page les produits vectoriels déformés.
Le concept de tenseur adjoint fait partie des connaissances accompagnant ce type de calcul. Les bases de son application au domaine de l'électromagnétisme sont expliquées dans [18 ; § 8, p.16] ; je vais y revenir.
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[16] Maxwell, J. C.: A Dynamical Theory of the Electromagnetic Field; Philosophical Transactions of the Royal Society of London, 1865, 155: 459...512.
[12] Heaviside, O.: XI. On the Forces, Stresses, and Fluxes of Energy in Electromagnetic Field (juin 1891 - mai 1892), pp. 423-480 ; [(.pdf) en ligne] doi/10.1098/rsta.1892.0011/1272264/rsta.1892.001 ; consulté le 8 juin 2026.
[23] Berkeley, Cours de physique, volume 3, ondes, Collection U, © Librairie Armand Colin, Paris, 1972, 603 pages.
[25] Riemann, B.: Über die Hypothesen welche die Geometrie zu Grunde liegen : Habilitationsschrift, 10 June 1854, in Göttingen - Gesammelte Math. Werke, Leipzig, 1872, p. 254-269.
[17] Einstein, A.: Die Grundlage der allgemeinen Relativitätstheorie; Annalen der Physik, vierte Folge, Band 49, (1916), N 7.
[26] Cartan, É. : Sur les équations de la gravitation d'Einstein (J. de Math. pures et appliquées, 9e série, t. 1, 1922, p. 141-203).
[27] Cartan, É. : La géométrie des espaces de Riemann ; Mémorial des Sciences Mathématiques, fascicule IX, Gauthier-Villars et Cie Éditeurs, Paris, 1925.
[28] Darboux, G. : Leçons sur la théorie des surfaces ; Cours de géométrie de la Faculté des Sciences, deuxième partie : les congruences et les équations aux dérivées partielles des lignes tracées sur les surfaces. Gauthier-Villars et Cie Éditeurs, Paris, 1889.
[09] Cartan, É.: The Theory of Spinors.
[24] Berkeley, Cours de physique, volume 2, électricité et magnétisme, Collection U, © Librairie Armand Colin, Paris, 1973, 460 pages.
[18] Lichnerowicz, A.. : Théories relativistes de la gravitation et de l'électromagnétisme, Relativité générale et théories unitaires, Masson et Cie, Éditeurs 1955, 289 pages.