Impossible de commencer un exposé mathématique sans un minimum de données sur les nombres complexes
La découverte du nombre imaginaire pur noté « i » est attribuée à Geronimo Cardano ; il apparait pour la première fois dans son œuvre maitresse « Ars Magna ».
Personnage éclectique italien né le 24 septembre 1501 à Pavie et décédé à Rome le 21 septembre 1576. Il étudie les mathématiques et la médecine à Pavie et Padoue et obtient son doctorat de médecine en 1525. Ce titre lui permet d’enseigner les mathématiques et la médecine à Milan, Pavie et Bologne.
Non content de ces expertises, il se préoccupe aussi d’astronomie, d’astrologie, d’alchimie et de physique. Cette soif de savoir lui vaut de devenir l’astrologue du pape à Rome en 1571.
Son ouvrage intitulé « Ars Magna » semble être le premier livre écrit en latin entièrement consacré à l’algèbre. Le livre constitue un jalon dans l’histoire des mathématiques puisqu’il permet de garder une trace du rapide développement que connait alors cette discipline.
Cette pièce rare expose les méthodes de résolution des polynômes du troisième et du quatrième degré. Ces méthodes ont été progressivement mises au point par dal Ferro et de manière plus complète par Tartaglia pour ce qui concerne les polynômes de degré trois ; puis par un élève de Cardano nommé Ferrari pour ce qui concerne les polynômes de degré quatre.
Le livre contient également des calculs utilisant pour la première fois le nombre complexe « i » dont le carré vaut moins un. Une clarification et une systématisation sur la manière d’utiliser les nombres complexes sera apportée un peu plus tard - vers 1560- par un dénommé Bombelli, un autre mathématicien de l’Université de Bologne.
L’œuvre de Cardano ne s’arrête pas là puisque ce mathématicien hors du commun fait paraitre « Liber de ludo alea » en 1563 dans lequel il présente un des premiers travaux de la théorie des probabilités.
Il publie son autobiographie dans « de vita propria liber » en 1575. Elle passe pour être une des premières à tenir compte de la psychologie de l’auteur.
Le premier objectif a été celui de résoudre des équations algébriques du genre :
x^2 + 1 = 0
Ou, plus généralement les polynômes semblant livrer des solutions qui n’étaient pas des nombres entiers, des fractions ou des nombres réels.
Ces nombres servent actuellement beaucoup dans le cadre de la description des courants alternatifs et des oscillations. Ils apparaissent également dans le cadre de la physique quantique.
L’introduction des nombres complexes (ils constituent l’ensemble C) intervient en principe au niveau des deux dernières classes de l’enseignement secondaire.
Chaque nombre complexe, noté symboliquement z, a une partie (non imaginaire) réelle R(z) = a et une partie imaginaire I(z) = i.b proportionnelle au nombre imaginaire pur « i » ; ce dernier a pour caractéristique d’avoir un carré égal à moins un.
z dans C et (a, b) dans R^2
z = R(z) + I(z) = a + b. i
Lorsque la paire associée à un nombre complexe est du type (a, 0), ce nombre est un nombre réel pur (un élément de l’ensemble R).
Lorsque la paire associée à un nombre complexe est du type (0, b), ce nombre est un nombre purement imaginaire (un élément de l’ensemble Im(C)).
Il est assez aisé de comprendre que la paire b = (1, i) suffit à générer (synonyme : sert de base à) l’ensemble C :
z dans C : z = a.1 + b. i
La paire (x, y) peut ainsi se comprendre comme une paire de « coordonnées » dans la base (1, i).
Ainsi, soit deux nombres complexes quelconques :
z = a + b.i Z = A + B.i
En partant du principe que l’imaginaire pur « i » commute avec tous les nombres réels, c’est-à-dire :
r dans R : i.r = r.i
Il est clair que :
z. Z = (a + i.b).(A + i.B) = (a.A - b.B) + (a.B + b.A).i
Le produit de deux nombres complexes est encore un nombre complexe. Il pourrait figurativement se représenter :
(a, b).(A, B) = (a.A – b.B, a.B + b.A)
Tous les nombres complexes ont une projection sur un axe réel et une autre sur un axe imaginaire. Ils sont conventionnellement représentés dans un plan qui se trouve être une sorte de mixture entre un monde réel linéaire et un autre qui serait linéairement purement imaginaire.
Il s’agit bien évidemment là d’un outil pratique servant essentiellement à visualiser ces nombres dans un environnement conforme à la vision cartésienne. Il fonctionne au travers d’une analogie avec la représentation habituelle des vecteurs. Quant à savoir si ce plan possède une quelconque existence de nature physique … la question sera pour le moment laissée de côté.
La représentation graphique en inspire une autre : la représentation trigonométrique. En effet, il est possible de définir une norme pour chaque z de la façon suivante :
N(z)^2 = z.z* = (a + b.i).(a – b.i) = a^2 + b^2 dans R+
Chaque nombre complexe z peut être normalisé et devenir unitaire en le divisant par sa norme initiale :
z’ = z/N(z)
Le formalisme de cette norme unitaire, lorsqu’il est joint à l’observation du graphique représentant les nombres complexes et confronté à la célèbre formule trigonométrique :
cos^2(angle) + sin^2(angle) = 1
… suggère de poser :
z’ = cos(angle) + i.sin(angle)
Avec, très logiquement :
cos(angle) = a/N(z)
sin(angle) = b/N(z)
C’est la représentation trigonométrique de n’importe quel nombre complexe unitaire.
Le fait que tout nombre complexe est forcément associé à une paire (r1, r2) de nombres réels invite à et permet de le représenter dans un plan généré par deux vecteurs perpendiculaires entre eux. L’un des deux génère les nombres réels purs (souvent l’axe horizontal des abscisses) et l’autre les nombres purement imaginaires (l’axe vertical des ordonnées).