Du point de vue adopté sur ce site, il s'agit là d'un point d'orgue dans la discussion. Le titre parle de produit tensoriel déformé et non pas de produit vectoriel déformé. Par conséquent vous pourriez penser que je me suis éloigné du sujet initial. Ce n'est pas le cas et je vais expliquer pourquoi.
Un produit tensoriel déformé par un cube antisymétrique est un produit vectoriel déformé.
Par définition, le produit tensoriel déformé par un cube A au départ quelconque des vecteurs a et b vaut dans une base canonique Ω d'un espace vectoriel de dimension trois bâti sur le corps commutatif R des nombres réels :
∀ A ∈ ⊞(3, K), ∀ (a, b) ∈ E2(3, R)
↓
⊕A(a, b) = ∑χ ∑αβ Aχαβ. aα. bβ. eχ
De sorte que, si en particulier, le cube déformant est antisymétrique (sous-entendu sur ses indices bas) :
∀ A ∈ ⊞-(3, K) : Aχαβ + Aχβα = 0K
Alors pour χ = 1, 2, 3 :
En introduisant à cet endroit-là les matrices carrées (3-3) [A] et [J] suivantes :
J'aboutis à la très intéressante relation :
∀ A ∈ ⊞-(3, R) :
| ⊗A(a, b) > = {[A]t .[J]}.| a ∧ b > = | [a, b][A] >
... qui démontre a minima :
Un produit tensoriel déformé par un cube antisymétrique est une déformation d'un produit vectoriel classique lorsque la discussion prend place dans un espace vectoriel de dimension trois bâti sur le corps commutatif des nombres réels.
La déformation de ce produit vectoriel classique dépend des matrices [A] et [J] qui, toutes deux, méritent quelques commentaires.
Le produit matriciel [A]t.[J] = [A]* s'appelle « la matrice déformante effective » du produit vectoriel classique.
Le formalisme de la relation liant le produit tensoriel déformé par un cube antisymétrique et le produit vectoriel déformé par la réduction de ce cube invite à penser que la discussion menée à la suite des résultats consignés dans le livret « Le vide de J.C. Maxwell » pourra à terme se limiter et se concentrer sur les décompositions des produits vectoriels classiques.
Un élément A de ⊞(3. C) est un cube (3-3-3) et il contient 27 noeuds. Il peut toujours se concevoir comme la superposition de trois éléments de M(3, C) dans une des trois directions principales d'un espace physique de dimension trois.
Un élément de ⊞-(3. C) est la superposition de trois éléments antisymétriques à diagonale nulle de M(3, C). Chacun de ces éléments, s'il est fait abstraction du signe moins, ne contient finalement au plus que trois entrées différentes dans C.
Il devient alors imaginable de penser qu'un élément de ⊞-(3. C) puisse se laisser représenter par un élément de M(3, C) dont les neufs entrées sont tirées au sort dans les entrées des matrices constituant le cube antisymétrique.
L'antisymétrie sur les indices bas d'un cube (3-3-3) permet de réduire ce cube à une matrice (3-3) de diverses manières.
La matrice [J] introduite précédemment génère le groupe cyclique C6 ; ce qui se manifeste concrètement par :
[J]2 = - [J]t
[J]3 = - Id3
[J]4 = - [J]
[J]5 = [J]t
[J]6 = Id3
Cette donnée purement mathématique a quelques conséquences sur lesquelles je reviendrai ultérieurement.
La relation qui vient d'être établie (rappel) :
∀ A ∈ ⊞-(3, R) :
| ⊗A(a, b) > = {[A]t .[J]}.| a ∧ b > = | [a, b][A] >
... a une conséquence, à savoir la possibilité de toujour pouvoir écrire :
∀ A ∈ ⊞-(3, R) :
ΦA(a). | b > = {[A]t .[J]}.[J]Φ(a).| b > = | [a, b][A]>
Ce qui mène à :
∀ A ∈ ⊞-(3, R) :
{Φ[A](a) - {[A]t .[J]}.[J]Φ(a)}.|b > = | 0 >
De sorte que pour les situations non dégénérés, il existe une relation de continuité liant les décompositions triviales les plus simples lorsque la matrice déformante [A] décrit M(3, R) en partant de [J] :
Φ[A](a) = {[A]t .[J]}.[J]Φ(a)
L'existence d'une décomposition d'un produit tensoriel déformé par un cube A quelconque se traduit au sein de cette discussion par l'existence présumée d'une paire ([P], z) telle que :
| ⊕A(a, b) > = [P]. | b > + | z >
Comme il existe toujours au moins une décomposition triviale de ce produit tensoriel déformé, cette relation peut également s'écrire :
{ AΦ(a) - [P] }. | b > = | z >
Ce qui signifie que le système des trois combinaisons linéaires écrites en fonction des composantes de la cible b a pour discriminant un polynome qui dépend des composantes du projectile a :
Λ(a) = | AΦ(a) - [P] |
Dans le cas général, ce polynome est de degré trois à cause du formalisme de la décomposition triviale du type Φ. Il convient sans doute utilement de remarquer que, jusqu'à ce stade, les composantes de la paire (projectile, cible), les entrées de la matrice [P] et les noeuds du cube déformant A pourraient être des éléments de n'importe quel corps K, commutatif ou non. Dans un premier temps, je restreins l'exposé au cas où K = C, le corps commutatif des nombres complexes.
Page mise à jour le
12 septembre 2026