Horloge astronomique de Strasbourg
La progression réalisée jusque-là permet désormais de proposer un premier visage mathématique à l’intuition exposée sur la page du « premier pas ».
Chaque champ électrique (resp. magnétique) dans une région vide de l’espace-temps se laisse associer avec un quaternion purement imaginaire :
E ≡ (0, < h,E >) ∈ Im(H)
H ≡ (0, < h,H >) ∈ Im(H)
Je veux maintenant affiner et explorer les conséquences de cette manière d'associer un champ spatial avec un quaternion imaginaire.
En partant du principe que le produit de deux quaternions représente l’interaction de leurs parties vectorielles respectives, il devient possible de se faire une idée de l’interaction d’un champ électrique (resp. magnétique) avec lui-même ; en effet :
(0, < h,E >). (0, < h, E >) = (-||E||^2, < h,0 >)
(0, < h,H >). (0, < h,H >) = (-||H||^2, < h,0 >)
Et puisque j’ai postulé qu’il n’y a de perceptible que la partie réelle des quaternions, j’en déduis que la logique adoptée pousse à dire ici que l’interaction d’un champ électrique classique avec lui-même se manifeste par un nombre en lien avec la densité volumique d’énergie qu’il porte avec lui.
Pour affiner cette présomption et l’harmoniser avec les écritures de ce siècle, il convient sans doute de reformuler l’association initiale en y introduisant le coefficient de perméabilité électrique ε0, et la permittivité magnétique μ0.
(ε0, E) → q(ε0, E) = (0, < h,√(ε0/2). E >)
(μ0, E) → q(μ0, H) = (0, < h,√(1/2.μ0). H >)
Ce qui permet d'aboutir à :
q^2(ε0, E) = (- ε0/2.||E||^2, < h,0 >)
q^2(μ0, H) = (- (1/2.μ0).||H||^2, < h,0 >)
Le carré du quaternion purement imaginaire représentant un champ électrique (resp. magnétique) dans le vide est purement réel et il vaut moins une fois la densité volumique d'énergie électrique (resp. magnétique) portée par ce champ lorsqu'elle est mesurée dans le vide.
La partie réelle de la différence des carrés calculés précédemment coincide avec le premier invariant associé à la paire (E, H) :
q2(μ0, H) - q2(ε0, E) = (Inv1(E, H), < h, 0 >)
La partie réelle de la somme des carrés calculés précédemment coincide avec moins une fois la densité volumique d'énergie électromagnétique portée par la paire (E, H) lorsque celle-ci est mesurée dans le vide.
q2(μ0, H) + q2(ε0, E) = (-ρ(E, H), < h, 0 >)
En appliquant le même principe que précédemment à une interaction entre un champ électrique et un champ magnétique (et vis-versa), je trouve :
q(ε0, E).q(μ0, H) ∼ (- < E,H >), < h, E ∧ H >)
q(ε0, H).q(μ0, E) ∼ (- < H,E >), < h, H ∧ E >)
J’en déduis que la partie perceptible (réelle) de cette interaction est le premier invariant du champ électromagnétique, à savoir le produit scalaire (E,H) pondéré par le ratio √(ε0/μ0).
Mais dans une région vide de l’espace, cet invariant est actuellement réputé être quasiment nul parce que le champ n’y serait pas polarisé et, par conséquent, il n’y a aucune trace visible de l’interaction de la partie électrique avec la partie magnétique d’une paire (E, H) pour un œil humain.
Une conséquence directe, simple et importante de ces calculs est la relation :
q(ε0, E).q(μ0, H) + q(μ0, H).q(ε0, E) = 0
L’anticommutativité de la paire de quaternions purement imaginaires (q(ε0, E), q(μ0, H)) représentant la paire (E, H) apparaît ici de manière éclatante. L’association réalisée au début de cette approche a pour caractéristique de transformer les branches électriques et magnétiques en variables vectorielles anticommutatives.
Dans ce contexte, la partie invisible (non perceptible) de cette interaction est proportionnelle au vecteur de Poynting. La physique contemporaine l’interprète comme la vitesse spatiale locale de propagation de l’énergie électromagnétique.
Le sujet de la représentation matricielle des champs électromagnétiques dans un contexte utilisant les quaternions a déjà été abordé sur la page introduisant les « champs électromagnétiques ».
La partie de la représentation matricielle qui est proportionnelle à la matrice identité rend compte de la partie réelle du quaternion (ou du produit de quaternions) qu’elle représente.
Il est possible de vérifier que (à vous de calculer) :
Ce calcul montre que le produit de deux représentations matricielles associées chacune avec un quaternion est la représentation matricielle de ce produit de deux quaternions ... à condition d'admettre que l'argument de la matrice de type Φ présente au niveau du coeur de cette représentation a pour argument le produit vectoriel classique :
Autrement dit, la matrice notée provisoirement [...] s'écrit génériquement :
La logique des représentations matricielles des quaternions adoptée jusque-là permet d'en induire l'existence d'un troisième vecteur :
Ce constat ouvre la route à de nombreuses applications physiques. Je vais en donner un premier exemple.
Du résultat mathématique général exposé précédemmet il ressort que le produit de deux représentations matricielles, chacune étant associée avec un quaternion, pourrait par exemple être la représentation matricielle d'un quaternion associé à un champ électrique :
E = q1 ∧ q2
... si deux relations sont simultanément réalisées :
q01. q02 - < q1, q2 > = 0
q01. q2 + q02. q1 = 0
Ces deux conditions n'imposent pas l'annulation systématique des arguments de la paire (q1, q2) puisqu'elles sont validées dès lors que les quaternions q1 et q2 sont des quaternions purement imaginaires, c'est-à-dire des éléments d'Im(H).
q01 = q02 = < q1, q2 > = 0
La question accompagnant spontanément cette démarche s'énonce alors : « Quelles grandeurs physiques représentent les quaternions q1 et q2 ? »
Elle trouve une réponse intuitive et immédiate au travers de la loi de Lorentz applicable dans les zones inertielles de l'espace-temps (Par définition : les régions dépourvues d'un champ de force ou telles que la somme des forces qui s'y exercent est nulle) ; in extenso :
E = - (1/c). v ∧ H
Cette intuition consiste à poser a priori :
q01 = 0, q1 = - (1/c). v
q02 = 0, q2 = H
Elle devient plausible dès lors que le champ magnétique H est perpendiculaire à la vitesse v. Cette loi décrit un mouvement cyclotronique.
< v, H > = 0
Cette exemple montre l'aptitude de la représentation quaternionique des grandeurs physiques habituelles et de la représentation matricielle de ces quaternions à rendre compte d'une loi physique classique bien connue.
Ces résultats n'apprennent encore rien de neuf mais ils illustrent le fait que l'usage des quaternions dans le domaine de l'électromagnétisme aide à retrouver de vieilles évidences. Ils donnent l'espoir de révéler quelques recoins de la physique encore inexplorés. Ces recherches sont encore en cours, par exemple pour retrouver les équations de J. C. Maxwell dans un espace quaternionique comme dans [01] ou pour rendre compte de la polarisation des champs, comme le montre une thèse relativement récente [02].
Une partie de ces propriétés a déjà été évoquées sur la page exposant les premières données concernant les champs électromagnétiques.
A) L'application « représentation matricielle d'un quaternion » peut évidemment servir à représenter un quaternion conjugué. La représentation matricielle du conjugué d'un quaternion vaut la transposée de la représentation matricielle de ce quaternion :
∀ q ∈ H → [q] ∈ M(4, R)
∀ q ∈ H → [q] ∈ M(4, R)
[q] = [q]t
B) Le produit de la représentation d'un quaternion q par la représentation de son conjugué est proportionnel à la matrice identité Id4 et le coefficient de proportionalité placé devant l'identité est le carré du module de ce quaternion :
∀ q ∈ H : [q]. [q] = |q|2. Id4
C) Les quaternions dont le carré du module vaut un sont dits unitaires.
D) La somme des entrées de la représentation matricielle d'un quaternion vaut quatre fois sa partie réelle :
∀ q ∈ H : [q]⊕ = 4. Réel(q) = 4. q0
Il en est de même pour la somme des entrées de la représentation matricielle de son conjugué.
E) La somme des entrées du glissement de la représentation matricielle d'un quaternion q sur elle-même vaut quatre fois le carré du module de ce quaternion :
{[q] • [q]}⊕ = 4. |q|2
F) La somme des entrées du glissement de la représentation matricielle d'un quaternion q sur la représentation matricielle de son conjugué vaut la somme des entrées de la représentation matricielle du carré de ce quaternion :
{[q] • [q]}⊕ = 4. < (4)q, (4)q >[η] = [q2]⊕
La représentation quaternionique de la quadri-vitesse utilisée dans le cadre de la théorie de la relativité restreinte illustre cette propriété de manière remarquable :
(4)v ∈ E(4, R) → v ∈ H → [v] ∈ M(4, R)
[01] Chrisitianto, V. and Smarandache, F.: A Derivation of Maxwell's Equations in Quaternion Spaces; Progress in Physics, January 2, 2010.
[02] Julien Flamant, Sebastian Miron, David Brie. Factorisation en matrices quaternioniques non-négatives : un nouvel outil pour l'imagerie spectro-polarimétrique. XXVIIème Colloque francophone de traitement du signal et des images , GRETSI 2019, Aug 2019, Lille, France. <hal-02401838>.
Prélude à la section suivante
L'anticommutativité est un bien étrange concept que le temps qui passe illustre à merveille. C'est la raison justifiant le choix de l'image figurant en entête de cette page.
Le temps, tel l'eau dévalant une pente, s'écoule inexorablement dans une seule direction. Jamais l'eau ne remonte spontanément à la source, jamais la fuite du temps nous ramène au berceau.
Cette page a été mise à jour le 29 août 2026