Tous les cours consacrés à l'étude des champs électromagnétiques introduisent tôt ou tard une information importante les concernant : chaque paire (E, H) est caractérisée par deux quantités invariantes.
La première n'est rien d'autre que leur produit scalaire euclidien :
Inv1(E, H) = < E, H > = Ex. Hx + Ey. H y + Ez. Hz
La seconde se définit par l'expression :
Inv2(E, H)
=
< H, H > - < E, E >
=
(H2x + H2y + H2z) - (E2x + E2y + E2z)
Cette affirmation peut se vérifier dans divers ouvrages académiques ; par exemple : [01 ; Lichnerowicz ; § 8, p. 17].
La simplicité du formalisme du second invariant masque une partie de l'histoire de l'électromagnétisme et de sa complexité réelle.
Historiquement parlant, les champs électromagnétiques ont été décrits à l'aide de formes différentielles dites extérieures. Et l'expression du second invariant au sein de ce contexte mathématique particulier se formule [01 ; § 8, p. 17] :
Ψ = 1/2. < F, F > = 1/2. Fαβ. Fαβ
Il est difficile de décoder correctement la symbolique de cette expression sans faire appel à un travail légérement antérieur à la référence citée ; voir [02]. Grâce à cette aide, la forme extérieure de l'électromagnétisme utilisée par A. Lichnerowicz s'apparente à une forme bilinéaire alternée d'E. Cartan mais à un détail technique crucial près. Ce chapitre des mathématiques concerne des formes bilinéaires impliquant deux séries de variables en même nombre [02 ; chapitre I, I, 1].
Or la notation symbolique de la forme extérieure de l'électromagnétisme ne manipule qu'une série de quatre variables, à savoir les :
dx0, dx1, dx2, dx3
Elle devrait - en théorie- introduire une seconde série, par exemple les :
δx0, δx1, δx2, δx3
Il deviendrait alors effectivement possible de construire la version quadratique de cette forme extérieure [02 ; chapitre I, I, 3, p. 10]. Mais que vaut-elle vraiment ? Comment convient-il de la calculer ?
Le concept de covariant bilinéaire a été introduit par Darboux [03] en 1882.
Le concept de covariant bilinéaire a été rebaptisé depuis en : différentiation extérieure ; il est lié a l'étude des variations d'une forme différentielle générique :
Θd(X) = ∑α Xα. dxα
Une différentiation extérieure de cette forme est :
δΘd(X) = δ(∑α Xα. dxα)
L'utilité de ce concept tient à ses liens avec un vieux problème d'intégration (volumes dans un espace de dimension quelconque). En utilisant la règle de Leibnitz :
δΘd(X) = ∑α δXα + ∑α δdxα
Le développement du premier terme à droite du signe de l'égalité ne pose aucun problème. Ce n'est pas le cas pour le second car nous ne savons pas calculer δd. Darboux propose de contourner cette difficulté en remarquant la chose suivante :
1) En intervertissant les symboles d et δ :
dΘδ(X) = ∑α dXα + ∑α dδxα
2) Et en supposant sans démonstration que :
δd = dδ
... il devient alors possible d'obtenir :
Il est facile de comprendre l'origine de l'adjectif "extérieure" dont le mot différentiation est affublé en observant le formalisme de cette expression. Il ressemble en effet comme deux goutes d'eau à n'importe quelle composante d'un produit extérieur réalisé entre deux vecteurs !
C'est l'endroit précis pour remarquer qu'en répétant la manoeuvre de Darboux avec D formes différentielles différentes (formes de Pfaff) :
Il en résulte l'information intéressante suivante qui relie le travail de Darboux au concept de produit tensoriel déformé alterné.
L'existence d'un ensemble de D formes différentielles engendre celle d'un produit tensoriel déformé bâti sur un cube A qui, dans le référentiel (x, Ω), vaut :
[01] Lichnerowicz, A. : Théories relativistes de la gravitation et de l'électromagnétisme, Relativité générale et théories unitaires, Masson et Cie, Éditeurs 1955, 289 pages.
[02] Cartan, E. : Exposés de géométrie, XIV : Les systèmes différentiels extérieurs et leurs applications géométriques ; Actualités scientifiques et industrielles, numéro 994, Hermann et Cie, Éditeurs Paris 1945.
[03] Darboux, G. : Sur le problème de Pfaff, Bulletin des sciences mathématiques et astronomiques, VI (1882), numéro 1, 14-36 et 49-68.