Maintenant que le contexte mathématique de l’époque où la formule utilisée par A. Lichnerowicz a été précisé (voir la page présentant les invariants d’un champ électromagnétique), le temps est venu de calculer ce qu’elle vaut. Il est évident que l’objectif est de retrouver :
ψ = < F, F > = < H, H > - < E, E >
A. Lichnerowicz préconise de la calculer à l'aide de [01 ; § 8, p. 15, Equ.(8-1) et p. 16, Equ(8-4)].
Je tente de reproduire son calcul pour obtenir - comme lui- [01 ; § 8, p. 17 Equ.(8-5)]. Dans un premier essai, j'interprète naïvement la notation [01 ; § 8, p. 17] comme un simple produit scalaire. Cette approche livre :
2. Ψ
=
Cette interprétation du produit < F, F > conduit à une expression de la densité volumique d’énergie portée par le champ électromagnétique. Ce n’est visiblement pas le résultat escompté.
La différence de signe le distinguant de l’expression attendue ne peut pas provenir d'une différence au niveau de la convention adoptée pour la signature de la métrique.
En effet, dans [02 ; p. XIII (1992)], comme dans [01, § 8, première ligne sous Equ.(8-1) (1955)], la signature est du type (+ - - -) et le calcul de l'expression [02 ; § 25, p. 76, Equ.(25,1)] aboutit à [02 ; § 25, p. 76, Equ.(25,3)] qui est identique [01 ; \S8, p. 17 Equ.(8-5)].
Par ailleurs, la référence [02 ; § 23, p.73] propose une représentation matricielle des champs électromagnétiques complètement conforme à ce qui se fait aujourd'hui.
En conclusion : l'écriture < F, F > ne doit pas s’interpréter comme un simple produit scalaire.
Faut-il alors « nuancer » le calcul précédent en tenant compte du fait que le contexte physique est rapporté à une géométrie de Minkowski ?
Autrement dit, faut-il interpréter cette expression comme suit :
ψ= < F, F >[η]
… expression dans laquelle la matrice diagonale (+ - - -) [η] de M(4, R) représente justement cette géométrie ?
La réponse est également négative.
Preuve : si cette piste était acceptable, le calcul devrait être réitéré comme suit :
Ψ
=
∑α ∑ (ηαβ. Fαβ. Fαβ)
=
(η00. F00. F00) + (η01. F01. F01) + etc.
Or les composantes du tenseur métrique s'annulent systématiquement dès que les deux indices diffèrent.
α ≠ β ⇒ ηαβ = 0, Fαβ ≠ 0
Simultanément, les seules composantes non nulles du tenseur champ électromagnétique sont celles pour lesquelles les deux indices diffèrent.
En conséquence de quoi cette interprétation de l’écriture utilisée par A. Lichnerowicz donnerait automatiquement un résultat nul.
Ce n'est pas le cas.
c.q.f.d.
Le résultat exact ne s'obtient qu'en travaillant effectivement avec des formes alternées, des tenseurs indicateurs et des tenseurs adjoints.
Un bon d'un demi-siècle en avant et un regard sur les cours consacrés au calcul tensoriel plus tard, notamment ceux de rang deux, permettent de retrouver le résultat historique ; en effet, dans n'importe quelle métrique :
Ainsi, en précisant l'écriture apparue dans [01 ; § 8, p. 17] à l'aide du langage attaché au calcul tensoriel... le résultat classique [01 ; § 8, p. 17 Equ.(8-5)] est retrouvé exactement (avec les bons signes) :
Ψ
=
< F, F >
=
½. ∑α ∑β Fαβ. Fαβ
=
< H, H > - < E, E >
c.q.f.d.
[01] Lichnerowicz, A.. : Théories relativistes de la gravitation et de l'électromagnétisme, Relativité générale et théories unitaires, Masson et Cie, Éditeurs 1955, 289 pages.
[02] Landau, L. D. et Lifschitz, E. M.: Lehrbuch der theoretischen Physik, II : Klassische Feldtheorie; Akademie Verlag GmbH, Berlin 1992 ISBN 3-05-501550-9, 480 S.