Dans le cadre de l'étude des décompositions des produits tensoriels déformés agissant sur des éléments d'un espace vectoriel de dimension trois, un polynôme de degré trois apparaît.
J'ai montré par ailleurs que la nullité de ce polynôme signe l'existence de décompositions triviales. Je suis donc trés intéressé à découvrir les racines de ce genre de polynôme chaque fois que ceci est possible.
Pour autant une première difficulté technique apparaît immédiatement. C'est un polynôme de degré trois écrit en fonction des trois composantes du projectile et non pas en fonction d'une seule variable !
C'est probablement le cas pour lequel il est le plus facile de retrouver des traces dans la littérature mathématique :
P(x) = x3 + a.x2 + b.x + c
Pour la physique, il n'aurrait d'intérêt que pour les grandeurs dont il serait certain qu'elles se laissent représenter par des vecteurs du genre :
v : (x, x, x) ∈ C3
Comme il faut bien commencer quelque part, je vous propose d'en exposer la résolution.
Personnage éclectique italien né le 24 septembre 1501 à Pavie et décédé à Rome le 21 septembre 1576. Il étudie les mathématiques et la médecine à Pavie et Padoue et obtient son doctorat de médecine en 1525. Ce titre lui permet d’enseigner les mathématiques et la médecine à Milan, Pavie et Bologne [01]. Non content de ces expertises, il se préoccupe aussi d’astronomie, d’astrologie, d’alchimie et de physique. Cette soif de savoir lui vaut de devenir l’astrologue du pape à Rome en 1571 [01].
Son ouvrage intitulé « Ars Magna » semble être le premier livre écrit en latin entièrement consacré à l’algèbre. Le livre constitue un jalon dans l’histoire des mathématiques puisqu’il permet de garder une trace du rapide développement que connait alors cette discipline [06]. Cette pièce rare expose les méthodes de résolution des polynômes du troisième et du quatrième degré. Ces méthodes ont été progressivement mises au point par dal Ferro et de manière plus complète par Tartaglia pour ce qui concerne les polynômes de degré trois ; puis par un élève de Cardano nommé Ferrari pour ce qui concerne les polynômes de degré quatre [03].
Le livre contient également des calculs utilisant pour la première fois le nombre complexe « i » dont le carré vaut moins un. Une clarification et une systématisation sur la manière d’utiliser les nombres complexes sera apportée un peu plus tard - vers 1560- par un dénommé Bombelli, un autre mathématicien de l’Université de Bologne [01].
L’œuvre de Cardano ne se résume pas à cet ouvrage puisque ce personnage excentrique et joueur publie 412 documents au cours de sa vie.
Parmi eux, en 1563, sans doute inspiré par sa propre expérience des jeux qu'il a pratiqué pendant ses études pour arrondir ses maigres finances [06] : « Liber de ludo alea (livret sur les jeux aléatoires) ». Il y présente un des premiers essais de la théorie des probabilités [01].
Il publie également un horoscope du Christ qui lui vaut d'être condamné pour hérésie, puis arrêté et emprisonné en 1570 [06]. Il ne s'en sort qu'en renonçant à diffuser les thèses qu'il soutient (par exemple : l'apologie de l'empereur Néro persécutant les premiers chrétiens, etc.). En punition, il lui est interdit d'enseigner et de publier.
Découragé, il accompagne un de ses étudiants à Rome où il reçoit une invitation à faire partie du collège des soignants et, ironie du sort, une pension versée par le pape. En 1575, il publie son autobiographie dans « de vita propria liber (Le livre de ma propre vie) ». Elle passe pour être une des premières à mettre un accent particulier sur la psychologie (de l’auteur). Enfin, Cardano ira jusqu’à prédire la date de sa mort et à se suicider pour prouver la justesse de sa prédiction ! [01 ; p.283].
D’origine et de formation très modestes, Tartaglia nait à Brescia en 1499 et meurt à Venise en 1557 [02]. Blessé en 1512 lors d’une bataille mené à Brescia par les Français, il supportera sa vie durant un handicap limitant sa diction ; d’où son surnom [03], [06].
Essentiellement autodidacte, il enseigne le calcul à Vérone à partir de 1517 puis à Venise à partir de 1534. Il présente la résolution des polynômes de degré trois en 1535 lors d’une compétition de mathématique organisée par l’Université de Bologne [03]. La compétition l'oppose à Antonio Maria Fiore, un élève de Dal Ferro qui a résolu en partie le problème des cubiques vers 1510 sans avoir eu le temps de publier ses résultats [06].
Les contributions de Tartaglia aux mathématiques ne se limitent pas à la méthode dite de Tartaglia-Cardan. On lui doit des réflexions sur le triangle de Pascal, sur les valeurs aux limites et une traduction en italien des œuvres d’Archimède et d’Euclide. Il contribue également aux succès militaires et économiques de la République de Venise auprès de l’administration de laquelle il sert en tant que topographe, balisticien et comptable [03].
En 1535, c'est l'époque à laquelle Cardano souhaite éditer un ouvrage intitulé "Practica arithmeticae generalis" consacré à l'arythmétique, la géométrie et l'algèbre. Dans un premier temps, pensant comme Fra Luca Pacioli que les cubiques ne peuvent pas avoir de solutions, il ignore le sujet.
Dans un deuxième temps, ayant eu ouie de l'existence des travaux de Tartaglia, Cardano tente d'en découvrir lui-même quelques autres ; en vain. Cet échec le force à implorer Tartaglia de publier ses solutions dans l'ouvrage qu'il planifie de publier.
Tartaglia refuse, arguant du fait qu'il publiera lui-même en temps voulu. S'en suit une dispute et un échange de missives aboutissant à une visite de Tartaglia auprès de Cardano à Milan. Au cours de celle-ci, Tartaglia remet finalement sa méthode à Cardano ... mais (i) en la camouflant à travers les vers d’un poème et (ii) en faisant promettre à Cardano de n'en jamais révéler le contenu à quiconque.
Cardano ne parviendra jamais à décoder le poème. Ce qui le force à demander la clé du décodage à Tartaglia. Muni de cette information, Cardano poursuit les travaux sur les cubiques avec son élève Ferrari [06].
Lorsque Cardano découvre par hasard qu'Antonio Maria Fiore a publié les résultats trouvés vers 1510 par son maître dal Ferro (aujourd’hui jugés incomplets si on les compare à ceux de Tartaglia), il rompt l’agrément moral le liant à Tartaglia.
Il publie les résultats en 1545 dans « Ars Magna » en prenant toutefois soin de mentionner les apports de Dal Ferro et de Tartaglia. La publication déclenche malgré tout une vive dispute sur la paternité de la méthode entre Tartaglia et Ferrari. Elle durera une dizaine d’années [03].
Il semble que Cardano ait réussi à initier un débat à Milan entre Tartaglia et Ferrari (10 août 1548). Bien que le contenu de cette brève rencontre (une journée, Tartaglia ayant quitté la ville le lendemain) soit inconnu, il semble qu'elle ait tourné à l'avantage de Ferrari. En effet, à la suite de celle-ci, Tartaglia perd sa chaire à Brescia et Ferrari est invité à occuper celle de Venise [06]. Pour rappel, Venise et Brescia étaient les deux bastions de Tartaglia. Celui-ci ne publiera d'ailleurs jamais ses résultats.
Le succès éditorial du livre contribue certes au développement et à la diffusion de l’algèbre. En revanche, il place Cardano en position dominante et finit malheureusement par faire oublier la contribution essentielle de Tartaglia [03].
[01] Lexikon der Mathematik in sechs Bänden, Ersten Band, © 2001, Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg, Berlin, ISBN 3-8274-0303-0, 475 Seiten.
[02] Lexikon der Mathematik in sechs Bänden, Band 5, © 2002, Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg, Berlin, ISBN 3-8274-0437-1, 483 Seiten.
[03] Geschichte der Mathematik: Tartaglia, Cardano et Ferrari, article consulté en ligne le 26 août 2024 ; ce nom de domaine n'existe plus.
[04] Bordas encyclopédie, 50/51 mathématiques, © Bordas-Éditeurs, 1972, Paris, 184 pages.
[05] A simplified expression for the solution of cubic polynomial equations using function evaluation; arXiv:2002.069076v1 [math.GM] 14 February 2020.
[06] Feldmann, Richard W.: The Cardano-Tartaglia Dispute, pp.364-368 dans "The revitalization of European mathematics ; part VI”.
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Pause café - Seconde partie de la démonstration
Il existe un remarquable exemple d'utilisation possible de la démonstration précédente ; à savoir : la formule découverte en 1944 par A. Lichnerowicz [07] et reproduite dans [08 ; p.98, (6.103)].
Cette équation importante dans le cadre de la relativité générale d'A. Einstein peut se résoudre à l'aide de la méthode de Tartaglia-Cardan.
La même démarche peut s’appliquer à [07 ; p.126, (8.5)]. Il y aurait donc toujours trois fois quatre, soit douze, métriques possibles.
Y-a-t-il un lien avec les particules élémentaires – dans le sens que chacune d’elle serait caractérisée par une métrique lui étant intrinsèque ; une métrique caractérisant la déformation qu’elle impose autour d’elle au tapis métrique universel- ?
[07] A. Lichnerowicz : L’intégration des équations de la gravitation relativiste et le problème des n corps, J. Math. Pures Appl. 23, 37 (1944); republié dans A. Lichnerowicz : Choix d’œuvres mathématiques, Hermann, Paris (1982), p. 4.
[08] Gourgoulhon, E. : Lectures notes, 3 + 1 Formalism and bases of Numerical Relativity ; arXiv:gr-qc/0703035v1 6 March 2007.
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