Il me semble indispensable de commencer cet exposé par un schéma sans lequel il sera difficile de bien comprendre les notations utilisées. Il s'agit d'un cube de type (2-2-2) quelconque. Les données générales sur les cubes déformants ont fait l'objet d'une page spécifique sur ce site.
A =
Je replace la discussion dans le contexte induit par un cube déformant de type (2-2-2) quelconque (voir le schéma ci-dessus).
La question (E) étudie les décompositions du type suivant dans un état d'esprit expliqué en détail sur la page classifiant les méthodes de décomposition (en bleu : les données connues ; en rouge : les inconnues) :
| ⊗A(a, b) > = [P]. | b > + | z >
La discussion menée au cours de la première étape a permis de calculer le discriminant associé avec la question de la décomposition des produits tensoriels déformés par ce genre de cubes dans les espaces de dimension deux ; pour rappel il vaut :
Λ(a) = cij. ai. aj + ci. ai + c
Il représente une conique du plan ; cette thématique est souvent traitée entre la seconde et la terminale [01 ; Aleph0]. Le formalisme précis de ses coefficients a été précisé au cours de la première étape.
L'observation attentive de ces coefficients livre un certain nombre d'informations qui vont s'avérer utiles par la suite ; par exemple :
1) les quatre coefficients de degré deux dépendent exclusivement des noeuds du cube déformant A qui est une donnée connue de la question traitée ;
2) les deux coefficients de degré un dépendent en partie du cube déformant et en partie de la partie principale et inconnue de la décomposition ;
3) le coefficient de degré nul est le déterminant de la partie principale et inconnue de la décomposition.
Ces constats autorisent pratiquement à poser :
cij = cij(A)
ci = ci(A, [P])
c = c([P])
Ils ont une première conséquence dont l'importance ne sera pas négligeable :
[Hessa Λ(a)] = [cij(A)] + [cij(A)]t = [C(A)] + [C(A)]t
L'existence d'une décomposition d'un produit tensoriel dans le contexte de la question (E), c'est-à-dire lorsque la déformation de ce produit est connue (le cube A), induit l'existence d'une polynomiale de degré deux dont les coefficients de degré deux dépendent directement des informations contenues dans le cube déformant.
Par conséquent, une déformation étant donnée et constante, le degré de liberté concernant les décompositions du produit tensoriel déformé étudié est donné par les variations de la partie de degré un de la polynomiale Λ(a).
Je vais dans un premier temps exposer les idées permettant de parvenir à résoudre la question posée.
Tous les propos tenus lors de la première étape peuvent être réitérés ici pour le produit tensoriel opposé :
| ⊗A(b, a) > = [Q]. | b > + | Z >
Cette décomposition est bien entendu elle-aussi associée avec une conique :
| ΦA(b) - [Q] | = ζ(b) = dij. bi. bj + di. bi + d
… dont les coefficients valent ...
1) Les coefficients de degré deux ne dépendent pas de l'ordre des arguments du produit tensoriel étudié.
[C(A)] = [D(A)]
2) Ce qui implique au passage :
[Hessa Λ(a)] = [Hessb ζ(b)]
Le produit tensoriel étudié et son opposé peuvent être décomposés à l’aide d’une méthode extrinsèque (voir la définition sur la page dédiée).
Le principe en est exposé ici :
A) Choisir une forme bilinéaire non dégénérée. La matrice [B] inversible la représente dans M(2, K = R ou C). La justification de l'intervention de cette forme dans la procédure de décomposition apparaitra plus tard en physique quand il faudra tenir compte de la géométrie sous-jacente.
B) Construire les produits scalaires suivants :
< a, {⊗A(b, a) - [Q]. | a > + | Z >}>[B]
< b, {⊗A(a, b) - [P]. | b > + | z >}>[B]
Il représentent les écarts à une décomposition présumée et ils s'annulent lorsque celle-ci est effectivement réalisée. Ce fait suggère l'action suivante.
C) Identifier ces écarts à des développements limités à l'ordre deux inclus de fonctions numériques à plusieurs variables chaque fois que cette identification est techniquement réalisable et sensée :
f(a) - f(0)
=
1/2. < a, {[Hessa f(a)]. | a >} > + < ∇af(a), a >
h(b) - h(0)
=
1/2. < b, {[Hessb h(b)]. | b >} > + < ∇bh(b), b >
D) En déduire un certain nombre d'informations approximatives sur les décompositions dont l'existence est présumée.
Exemple simple de la géométrie plane euclidienne : [B] = Id2.
ΦA(b) - [Q] = ½. [Hessa f(a)]
Z = ∇af(a)
ΦA(a) - [P] = ½. [Hessb h(b)]
z = ∇bh(b)
La méthode extrinsèque offre en théorie une première approximation des décompositions recherchées :
([P], z) = (ΦA(a) - ½. [Hessb h(b)], ∇bh(b))
([Q], Z) = (ΦA(b) - ½. [Hessa f(a)], ∇af(a))
Mais elles dépendent maintenant de données extrinsèques à la question posée, à savoir des polynomiales f(a) et h(b) et de leurs dérivées partielles jusqu’à l’ordre deux.
Pour tenter de faire disparaitre le côté extrinsèque de cette procédure, il est imposé à une polynomiale résultant intrinsèquement d’une décomposition de coïncider avec une variation de son argument induite par la décomposition du produit tensoriel déformé opposé.
Dans la pratique, cette démarche consiste à poser de force les relations :
Λ(a) ∼ f(a)
ζ(b) ∼ h(b)
... et à en tirer les conséquences.
Page mise en ligne le 04 septembre 2026