La maison d'Hades

Puisque :

1) les produits tensoriels déformés par des cubes antisymétriques sont proportionnels à des produits de Lie déformés ;

2) toute cette recherche doit son existence à problème mathématique implicitement contenu dans mon travail sur le vide électromagnétique de Maxwell, à savoir la question dite (E) des décompositions des images duales des produits vectoriels

... il semble logique et pertinent de s’intéresser de manière systématique aux produits tensoriels déformés par des cubes antisymétriques, en particulier ici dans un espace de dimension deux.

Puisque l'antisymétrie d'un cube se définit par le fait que 

Il en résulte que dans le cadre des espaces de dimension deux, un cube antisymétrique (2-2-2) se résume à la superposition des deux matrices :

Le symbole « * » désigne la rotation de 180 degrés de la matrice à laquelle il s'applique autour de l'axe vertical séparant fictivement les deux vecteurs-colonnes la constituant.

Dans les espaces de dimension deux, les cubes antisymétriques (2-2-2) peuvent se résumer à un vecteur et son opposé additif.

Dans ces circonstances, le discriminant stratégique vaut :

Il s'agit de l'équation d'une droite dont les coefficients décrivent l'interaction entre le vecteur caractérisant le cube antisymétrique de type (2-2-2) qu'on a sous la main et la matrice inconnue [P] représentant la partie principale de la décomposition recherchée.

Dans le cadre des prémisses de cette théorie, une décomposition d'un produit tensoriel déformé par un cube de type (2-2-2) s'écrit :

Poser la question (E) dans un espace de dimension deux lorsque le cube déformant est constitué à partir de composantes antisymétriques sur leurs indices bas revient ainsi à se demander ce que valent les paires ([P], z) de M(2, K) x E(2, K) lorsque seul le système suivant est connu :

Remarque 1 - Interprétation du problème.

Bien que les arguments (la paire de vecteurs (q₁, q₂) apparaissent dans l'expression de ce qui équivaut à un produit de Lie en dimension deux, ces arguments ne semblent vraiment intervenir que pour moduler l'intensité du vecteur r₁ caractérisant le cube antisymétrique agissant sur eux.

Bref et contre-intuitivement, les arguments modulent la déformation et non pas l'inverse !

Remarque 2 - état des lieux.

La solution au problème de la décomposition d’un produit tensoriel déformé par un cube antisymétrique agissant dans un espace de dimension deux semble liée à la découverte d'une sorte de jauge puisque trois vecteurs sont connus, {r₁, q₁, q₂}, tandis que trois autres sont inconnus : {p₁, p₂, z}. 

La question (E) étant abordées de la sorte, elle implique autant de données connues que de données inconnues. Pour autant, il ne s'agit malheureusement pas d'un simple système de relations linéaires !

Remarque 3 - repositionnement de la question.

Tout se présente ainsi comme si, disposant de trois points d'un espace de dimension deux (les trois colonnes {r₁, q₁, q₂} la résolution consistait à savoir comment leur faire correspondre trois autres points d'un espace de dimension deux (les trois colonnes {p₁, p₂, z}. 

Il semble donc qu'il ne soit plus possible de séparer cette discussion algébrique de considérations géométriques (exemples : plan tangent, rayons de courbure, ... en chaque point) ni de systématiquement restreindre sa représentation aux espaces géométriques de dimension deux.

En effet, et même en géométrie euclidienne, si trois points suffisent effectivement à définir un plan (donc un espace de dimension deux), rien n'indique dans la manière dont le problème est défini que le « triangle solution » (et qui définira à son tour un espace de dimension deux) se trouve dans le même plan que le « triangle initial ».

A ce stade, il semble donc judicieux de penser que la résolution systématique passe par une confrontation entre l'ensemble des transformations d'un triangle dans un espace de dimension trois et la relation de décomposition imposée au départ.

Remarque 4 - décomposition triviale.

Il existe aussi au moins une décomposition triviale dans les espaces de dimension deux.

Elle correspond à une configuration simple du système d'équations telle que z = 0 et :

Dans ce cas précis, les colonnes de la partie principale de la décomposition, [P], sont simplement proportionnelles au vecteur caractérisant le cube de type (2-2-2) antisymétrique.

Pour mémoire, dans les espaces de dimension trois, la décomposition triviale la plus simple est représentée par une matrice rotation et son déterminant est nul.

Dans les espaces de dimension deux, la matrice ci-dessus a également un déterminant nul (uniquement si K est commutatif et c'est bien ce qui a été supposé au début de ce document en décidant de travailler sur K = R ou C).

Sa parenté avec la représentation d'une rotation, si elle existe vraiment, doit être démontrée. Or cette matrice est ostensiblement une table de Pythagore construite à l'aide du produit tensoriel classique puisqu'elle s'écrit aussi :

... et la matrice [C] apparaissant ici fait partie de l'ensemble des représentations des réflections (reversals en anglais ; voir [E. Cartan ; § 7, § 61, § 126]). Par conséquent, la décomposition triviale d'un produit tensoriel déformé par un cube antisymétrique dans un espace de dimension deux peut s'écrire sous la forme de la table de Pythagore (un autre mot pour désigner une extrapolation du concept de table de multiplication) :

Comme c'est la cas dans les espaces de dimension trois, la matrice de décomposition la plus triviale obtenue par décomposition d'un produit tensoriel déformé dans un espace de dimension deux dépend du projectile et du cube déformant. Ce dernier se réduit ici à un simple vecteur.

Cette analyse dessine les premiers contours des éléments communs à la résolution de la question (E) ; je veux dire par commun : quelle que soit la dimension de l'espace mathématique dans lequel la question a été posée.

Il semble par exemple et d'ores et déjà que les notions de réflection et de rotation introduites par E. Cartan dans sa théorie des spineurs seront omniprésentes quand il sera question des décompositions les plus triviales.

Bibliographie utile

Cartan, E. The theory of spinors. First published by Hermann of Paris in 1966; traduction des cours sur la théorie des spineurs (2 volumes) ; Hermann, 1937. 

Page mise à jour le 17 août 2026.