Confrontation des méthodes de décompositiondes produits vectoriel déformés dans les espaces de dimension trois

Comme indiqué au § 2.3.4 point IV de la page introduisant les méthodes extrinsèques dans les espaces de dimension trois, une comparaison des parties principales est a priori possible lorsque le cube A est un élément de ⊞^-(3, C) et elle consiste à étudier la cohérence de l'égalité matricielle (voir la section 04 de la reconstruction) :

[P]_intrinsèque = [P]_extrinsèque

⇓

[A]*.{1/2.[Hess_aΛ(a)] + (|Noyau|/|A|)._[J]Φ(_Λs)}

=

 _[A]Φ(a) - [B]^-1.[s([B], b)]

« Comment rendre les deux approches compatibles ? »

Il serait relativement aisé d'établir des correspondances entre les divers acteurs figurant au sein de cette égalité si le vecteur singulier _Λs était proportionnel au projectile a :

a // _Λs 

⇓

Confrontations simples à établir

(voir plus bas sur cette page)

Ceci semble par exemple être le cas dans un cadre autorisant le traitement de l'équation de Klein Gordon (voir le § 3.2 sur la page étudiant cette équation) au sein de la théorie des produits vectoriels déformés puis décomposés. En effet, dans ce cadre-là, il devient possible d'écrire :

(|N|/|A|)._Λs = 2.η⁰.⁽³⁾η = (2.m.c³/E²).⁽³⁾p 

La quantité de mouvement spatiale de l'onde massive circulant dans une région vide sans courbure suit toujours une trajectoire minimisant les pentes d'une polynomiale associée à ce mouvement. Le principe de moindre action est respecté si cette polynomiale contient des informations sur l'énergie au cours du déplacement de l'onde.

Mais en général pour les noyaux de la classe I :

| _Λs > = - [Hess_aΛ(a)]^-1.| d >

... et donc rien ne garantit que cette proportionalité existe. 

S'il est supposé que :

(|Noyau|/|A|)._Λs = a 

Puisqu'il a clairement été démontré sur la page introduisant les décompositions dans les espaces vectoriels de dimension trois que :

_[A]Φ(a) = [A]*._[J]Φ(a)

La confrontation se formalisme par la relation :

[P]_intrinsèque = [P]_extrinsèque

⇓

[A]*.{1/2.[Hess_aΛ(a)] + _[J]Φ(a)}

=

[A]*._[J]Φ(a) - [B]^-1.[s([B], b)]

⇓

(1/2).[A]*.[Hess_aΛ(a)] = - [B]^-1.[s([B], b)]

Il n'est pas du tout évident de savoir comment rendre les deux approches compatibles et je suis longtemps resté bloqué à cet endroit de ma progression. Jusqu'au jour où le hasard m'a permis de prendre connaissance du livret [01]. En effet, j'y ai découvert que la Hessienne de certaines polynomiales pouvaient être identifiées à l'inverse de représentations matricielles de métriques [01 ; p. ..., équation ()].

[G]^-1 ∼ [Hess... L²]

En tenant compte de cette information, il est tentant de considérer qu'il existe un ensemble de situations naturelles pour lesquelles la matrice contextuelle [B] représente la métrique de dimension trois [G] autorisant à poser :

(1/2).[Hess_aΛ(a)] = [B]^-1 = [G]^-1 

Et simultanément :

[A]* = - [s([G], b)]

Dans le cadre de cette interprétation des acteurs impliqués dans la relation de cohérence, il faut accepter de penser que la matrice [s([G], b)] des coefficients d'ordre deux du scalaire associé à la cible dans le produit vectoriel déformé [a, b]_[A] détermine la matrice déformante effective [A]*.

S'il n'est pas nécessairement tenu compte des travaux réalisés dans [01], alors un second scénario de jonction entre les deux approches se dessine. Il consiste à poser simultanément les deux relations de cohérence :

[A]* = [B]^-1

(1/2).[Hess_aΛ(a)] = - [s([B], b)]

Auquel cas, la matrice déformante effective [A]* s'identifie à l'inverse de la matrice contextuelle et la matrice [s([B], b)] des coefficients d'ordre deux du scalaire associé à la cible dans le produit vectoriel déformé [a, b]_[A] vaut la moitié de la Hessienne propre associée avec la décomposition de ce produit.

A ce stade de l'exploration, il ne m'est pas possible de proposer un critère de choix permettant de décider lequel des deux scénarions doit s'appliquer.

Ici, comme c'est probablement généralement le cas :

(|Noyau|/|A|)._Λs ≠ a 

Ainsi, pour continuer à pouvoir appliquer les résultats des travaux consignés dans [01], et utilisé au cours du § 3 ci-dessus, il faut imposer la relation assurant la cohérence de l'égalité entre les parties principales :

_[A]Φ(_Λs) = _[A]Φ(a) 

... et examiner les conséquences de ce choix. Celui-ci mène dans un premier temps à :

[A]^t.[J].Φ(_Λs - a) = ⁽³⁾[0]

Toute matrice déformante [A] peut s'interpréter comme la superposition de trois éléments dans E(3, C). Il est toujours possible de calculer la somme des composantes de chacun de ces trois éléments. Chacune de ces trois sommes peut se concevoir comme la composante d'un vecteur T([A]) associé à la matrice déformante qu'on a sous la main.

La condition de cohérence imposée par une égalité des parties principales obtenues par les deux méthodes pour le même produit vectoriel déformé

 [a, ...]_[A] 

... puis décomposé permettant d'utiliser les travaux consignés dans [01] est équivalente à la relation :

T([A]) ∧ (_∧s - a) = ⁽³⁾0 

Ce qui permet de (et force à) relier le projectile a au vecteur singulier de manière très précise :

a = _∧s + ζ. T([A])

ζ ∈ C

Le calcul in extenso de la matrice déformante effective aboutit à :

Il en résulte la possibilité de calculer la matrice générique suivante in extenso :

_[A]Φ(X)

=

 [A]*._[J]Φ(X)

=

Il s'agit ici de comprendre les liens entre le vecteur X supposé non nul (X ≠ 0) et les entrées de la matrice déformante [A] lorsque _[A]Φ(X) = ⁽³⁾[0].

Un des moyens d'y parvenir est de considérer que la matrice déformante est la superposition de trois vecteurs :

Quand _[A]Φ(X) = ⁽³⁾[0], les neufs entrées de cette matrice sont simultanément nulles. Il en résulte que la somme des entrées placées sur une colonne de cette matrice est aussi forcément nulle. Cette affirmation vaut pour chacune des trois colonnes. Il en résulte les trois relations :

- a^⊕₁₃.X₃ - a^⊕₁₂.X₂ = 0 

- a^⊕₂₃.X₃ + a^⊕₁₂.X₁ = 0

a^⊕₂₃.X₂ + a^⊕₁₃.X₁ = 0

Soit le vecteur :

T : (T₁, T₂, T₃) ∈ E(3, C)

Il peut lui être associé biunivoquement la matrice :

_[J]Φ(T)

=

Ceci permet de calculer :

_[J]Φ(T).| X >

=

De sorte qu'en posant volontairement :

T = T([A]) : (a^⊕₂₃, - a^⊕₁₃, a^⊕₁₂)

Le système obtenu en annulant la somme des entrées de chaque colonne dans la matrice _[A]Φ(X) est reconstitué. Il est donc équivalent à :

T([A]) ∧ X = 0 

Mais ici en particulier :

X = _Λs - a 

Par conséquent, la condition étudiée est équivalente à :

T([A]) ∧ (_∧s - a) = ⁽³⁾0 

Ce qui permet de (et force à) relier le projectile a au vecteur singulier de manière très précise :

a = _∧s + ζ. T([A])

ζ ∈ C

c.q.f.d.

J'ai déjà eu l'occasion de montrer que le produit vectoriel classique n'est qu'un produit vectoriel défini dans un espace de dimension trois qui a été déformé par le générateur du groupe cyclique C6, précisément : la matrice [J]. Il est possible de calculer le vecteur T([J]) qui lui est naturellement associé :

T([J]) : (1, 1, 1)

Par convention du language, le vecteur T([A]) s'appelle le « vecteur topologique » dans le contexte déformant défini par la matrice [A].

[01] Cartan, E. : Les espaces métriques fondés sur la notion d'aire dans « Actualités scientifiques et industrielles », numéro 72, exposés de géométrie publiés sous la direction de monsieur Elie Cartan, membre de l'institut et professeur à la Sorbonne; Paris, Hermann et Cie, éditeurs, 1933.

© Thierry PERIAT

Cette page a été mise en ligne le 13 octobre 2026

Et modifiée le 20 octobre 2026