La maison d'Hades

 Cette approche théorique a d'abord et essentiellement cherché à étendre les calculs réalisés dans le premier chapitre du livret « Le vide de J.C. Maxwell » ; lire ou relire les premières pages introduisant le sujet. Techniquement, il s'agissait de déformer les produits vectoriels classiques puis de les décomposer. 

Il se trouve que dans un premier temps, j'ai tenté de découvrir les paires ([Partie principale matricielle], Partie résiduelle vectorielle) d'une manière qu'il est juste de dire qu'elle est intrinsèque ; voir la classification des méthodes de décomposition.

Cette procédure est réexpliquée avec multe détails sur ce site dans une série de pages débutant avec la tête de chapitre : les décompositions dans les espaces de dimension trois.

Du point de vue des mathématiques pures, la prise en compte de la théorie des produits tensoriels et de celle des algèbres extérieures m'a beaucoup appris. Ces théories m'ont aidé à mieux définir le concept de produit vectoriel déformé et de comprendre que les préoccupations initiales ayant motivé toute cette démarche pouvaient s'incorporer dans une théorie des produits tensoriels déformés, puis décomposés.

En effet, dans les espaces de dimension trois, un produit tensoriel déformé par un cube antisymétrique sur ces indices bas (voir la page traitant des cubes) n'est rien d'autre qu'un produit vectoriel classique déformé.

Le bilan de cette progression est que, dans les espaces de dimension trois, il existe une méthode intrinsèque permettant de répondre partiellement à la question posée. Elle est partielle en ce sens qu'elle fournit les formalismes génériques des parties principales possibles (les matrices [P]) des paires recherchées.

En revanche, elle ne donne aucune indication claire sur les parties vectorielles résiduelles de ces décompositions ; sinon, bien évidemment, que ces résidus vectoriels peuvent toujours s'obtenir en soustrayant :

| Partie résiduelle >

=

 | [Projectile, Cible]_{[Matrice déformante]} > - [Partie principale].| Cible >

=

{_{[Matrice déformante]}Φ(Projectile) - [Partie principale]}.| Cible >

=

[Matrice déformante effective].{_[J]Φ(Projectile) - [Noyau]}.| Cible >

=

[A]*.{_[J]Φ(Projectile - (|N|/|A|)._Λs) - 1/2.[Hess_Projectile Λ( Projectile)}.| Cible >

Par ailleurs, ce formalisme soulève une série d'interrogations, à savoir : « Pourquoi n'y a-t-il pas une coincidence systématique entre le projectile et le vecteur singulier ? Cette différence a-t-elle une signification profonde dans le cas d'applications physiques de cette théorie ? Si oui : laquelle ? »

Cette situation est insatisfaisante et elle motive le développement de méthodes complémentaires permettant de tenter l'achèvement de la résolution de la question posée dans les espaces de dimension trois.

Pour la clarté de cet exposé, la discussion implique uniquement les éléments d'un espace vectoriel de dimension trois dont les composantes sont dans le corps commutatif des nombres complexes ; je le note E(3, C).

Qu'il s'agisse d'un produit tensoriel, alterné ou vectoriel déformé, la théorie de la question (E) présume de l'existence d'une décomposition de ce produit. Elle entend par là que celui-ci se laisse diviser et que cette manoeuvre livre un vecteur que je note :

 | D > = [Partie principale].| Cible > + | Partie résiduelle >

Ou, plus génériquement :

 | D > = [P].| b > + | z > ∈ M(3 x 1, C) ≡ C³

Par ailleurs, comme les produits tensoriels déformé servent à définir les produits alternés déformés et les produits vectoriels déformés (ce sont des produits tensoriels alternés bâtis dur des cubes antisymétriques sur leurs indices bas), je focalise cette discussion sur les produits tensoriels déformés et, le cas échéant, je préciserai ce qui se passe pour les produits alternés ou pour les produits vectoriels déformés. Autrement dit, je considère les conséquences dues au fait d'écrire la relation-type :

⊗_A(a, b) = D 

... quand elle se projette dans C³ de sorte que :

| ⊗_A(a, b) > =  [P].| b > + | z > 

La méthode extrinsèque-type part :

(i) du principe que le produit tensoriel déformé se laisse diviser (voir § ci-dessus) ;

(ii) de l'a priori qu'un produit scalaire est défini sur E(3, C) et que celui-ci est associé à un élément [B] de M(3, C) : il définit le contexte ;

(iii) du fait que les arguments de celui-ci sont soumis à des contraintes polynomiales.

Par convention, le scalaire associé au projectile, a, intervenant dans un produit tensoriel déformé par un cube A ayant a priori une décomposition D dans un contexte associé à [B] est défini par l'écriture :

s([B], a) = < a, ⊗_A(a, b) - D >_[B] 

C'est un élément du corps commutatif C mesurant indirectement le degré de réalisation de la décomposition D dans un contexte associé à [B].

Par convention, le scalaire associé à la cible, b, intervenant dans un produit tensoriel déformé par un cube A ayant a priori une décomposition D dans un contexte associé à [B] est défini par l'écriture :

s([B], b) = < b, ⊗_A(a, b) - D >_[B] 

C'est un autre élément du corps commutatif C mesurant indirectement le degré de réalisation de la décomposition D dans un contexte associé à [B].

Les circonstances suivantes annulent systématiquement le scalaire associé à l'un des arguments :

1. Un argument du produit tensoriel déformé par le cube A est nul. 
2. Le cube A est nul.
3. La matrice [B] est nulle.
4. La décomposition du produit tensoriel déformé par le cube A est réalisée ; in extenso : elle vaut effectivement D.
5. L'argument du produit tensoriel déformé par le cube A est « orthogonal » à l'écart de réalisation de la décomposition D dans le contexte défini par la matrice [B].

Les circonstances 1, 2, 3, étudient la décomposition du vecteur nul.

Tous les indices valent 1, 2 ou 3.

I. Le scalaire associé au projectile a s'écrit plus précisément :

s([B], a) 

=

∑_m ∑_n b_mn.a^m.{∑_p ∑_q Aⁿ_pq.a^p.b^q - (∑_q p_nq.b^q + zⁿ)}

Il s'agit d'un polynôme de degré deux écrit en fonction des trois composantes du projectile a, et d'un polynôme de degré un écrit en fonction des trois composantes de la cible b. Une réorganisation de la version polynomiale de degré deux aboutit à :

s([B], a) 

=

∑_p ∑_m ∑_n b_mn.(∑_q Aⁿ_pq.b^q).a^m.a^p - ∑_m {∑_n b_mn.(∑_q p_nq.b^q + zⁿ)}.a^m 

=

s([B], a)_mp.a^m.a^p + s([B], a)_m.a^m

Avec les coefficients de degré deux et un respectivement égaux à :

s([B], a)_mp = ∑_n b_mn.(∑_q Aⁿ_pq.b^q) 

s([B], a)_m = ∑_n b_mn.(∑_q p_nq.b^q + zⁿ) 

Nota bene concernant les coefficients lorsque le cube est antisymétrique :

Lorsque le cube déformant A est un élément de ⊞^-(3, C), il est assimilable à une matrice déformante [A], élément de M(3, C), et les coefficients du scalaire associé au projectile se laisse synthétiser sous la forme suivante :

[s([B], a)] = - [B]._[A]Φ(b)

| s([B], a) > = [B].| D > = [B].{[P].| b > + | z >}

II. Le manière similaire, le scalaire associé à la cible b s'écrit plus précisément :

s([B], b) 

=

∑_m ∑_n b_mn.b^m.{∑_p ∑_q Aⁿ_pq.a^p.b^q - (∑_q p_nq.b^q + zⁿ)}

Il s'agit d'un polynôme de degré deux écrit en fonction des trois composantes de la cible b, et d'un polynôme de degré un écrit en fonction des trois composantes du projectile a. Une réorganisation de la version polynomiale de degré deux aboutit à :

s([B], b) 

=

∑_m ∑_n b_mn.{∑_q (∑_p Aⁿ_pq.a^p - p_nq).b^m.b^q + ∑_m ∑_n b_mn.b^m.zⁿ 

=

s([B], b)_mq.b^m.b^q + s([B], b)_m.b^m 

Avec les coefficients de degré deux et un respectivement égaux à :

s([B], b)_mq = ∑_n b_mn.(∑_p Aⁿ_pq.a^p - p_nq) 

s([B], b)_m = ∑_n b_mn.zⁿ 

Quelle que soit la nature du cube déformant A, ces coefficients se laissent synthétiser comme suit :

[s([B], b)] = [B].{_AΦ(a) - [P]} 

| s([B], b) > = [B].| z >

Aussi étonnant que ceci puisse paraître, cette démarche permet de définir un ensemble de circonstances pour lesquelles les paires ([P], z) recherchées peuvent effectivement être exprimées.

En effet, l'observation des expressions précédentes permet de comprendre qu'il suffit de connaître :

• (i) les coefficients de degré deux et de degré un d'une polynomiale à laquelle les composantes de la cible satisfont ;
• (ii) la matrice contextuelle [B], pourvu que celle-ci soit inversible (équivalent à | B | ≠ 0),

... pour en déduire que :

[P] = _AΦ(a) - [B]^-1.[s([B], b)]

| z > = [B]^-1.| s([B], b) >

c.q.f.d.

I. Une contrainte supplémentaire et cachée sur les coefficients de la polynomiale à laquelle satisfont les composantes de la cible.

En supposant a priori que les conditions suffisantes (i) et (ii) du § 2.3.3 sont satisfaites, il devient en principe possible d'écrire :

| ⊗_A(a, b) > 

=

{_AΦ(a) - [B]^-1.[s([B], b)]}.| b > +  [B]^-1.| s([B], b) >

=

_AΦ(a).| b > + [B]^-1.{| s([B], b) > - [s([B], b)].| b >}

Mais comme le produit tensoriel déformé a toujours au moins une décomposition triviale telle que (rappel) :

| ⊗_A(a, b) >  = _AΦ(a).| b >

La première estimation de la paire ([P], z) par une méthode extrinsèque-type impose une contrainte supplémentaire entre les coefficients de degré un et ceux de degré deux de la polynomiale à laquelle satisfont les composantes de la cible b. Puisque la matrice contextuelle [B] a été supposée non-dégénérée, il s'agit de :

| s([B], b) > = [s([B], b)].| b >

Il convient de noter que, sous cette présentation-là, cette contrainte supplémentaire semble ne pas dépendre du cube déformant. 

II. Conséquence sur les coefficients de la polynomiale de degré deux à laquelle satisfont les composantes du projectile.

En supposant a priori que les conditions suffisantes (i) et (ii) du § 2.3.3 sont satisfaites, et en injectant les résultats qui en découlent dans ceux concernant la polynomiale de degré deux à laquelle satisfont les composantes du projectile, il suit :

| s([B], a) >

=

[B].| D >

=

[B].{[P].| b > + | z >}

=

{[B]._AΦ(a) - [s([B], b)]}.| b > + | s([B], b) > 

III. Le cas II lorsque le cube A est un élément de ⊞^-(3, C).

Dans ce cas particulier du précédent, il vient :

| s([B], a) >

=

{[B]._[A]Φ(a) - [s([B], b)]}.| b > + | s([B], b) > 

=

{[B]._[A]Φ(a + b - b) - [s([B], b)]}.| b > + | s([B], b) > 

=

{[B]._[A]Φ(a + b) - [B]._[A]Φ(b) - [s([B], b)]}.| b > + | s([B], b) > 

=

{[B]._[A]Φ(a + b) + [s([B], a)] - [s([B], b)]}.| b > + | s([B], b) > 

De sorte que l'exploration concerne par exemple les produits vectoriels déformés tels que la somme des arguments est nulle :

a + b = 0

... alors :

{[s([B], a)] - [s([B], b)]}.| b > = | s([B], a) - s([B], b) > 

IV. Confrontation avec le résultat partiel obtenu à l'aide de la méthode intrinsèque lorsque le cube A est un élément de ⊞^-(3, C).

Une comparaison des parties principales est a priori possible lorsque le cube A est un élément de ⊞^-(3, C) et elle consiste à étudier la cohérence de l'égalité matricielle (voir la section 04 de la reconstruction) :

[P]_intrinsèque = [P]_extrinsèque

⇓

[A]*.{1/2.[Hess_aΛ(a)] + (|N|/|A|)._[J]Φ(_Λs)} = _[A]Φ(a) - [B]^-1.[s([B], b)]

Il serait relativement aisé d'établir des correspondances entre les divers acteurs figurant au sein de cette égalité si le vecteur singulier était proportionnel au projectile ... mais en général :

| _Λs > = - [Hess_aΛ(a)]^-1.| d >

... et donc rien ne garantit que cette proportionalité existe. Je traite cette problématique à part sur la page confrontant les méthodes.

© Thierry PERIAT

Page mise en ligne le 10 octobre 2026