La maison d'Hades

  La page précédente a permis de parcourir une partie du chemin devant mener au formalisme générique de la partie principale [P] d'une décomposition d'un produit vectoriel déformé par une matrice [A] inversible. Je poursuis ici la quête de ce formalisme.

De longs et pénibles calculs algébriques complètent ce début de parcours. Ils livrent les résultats suivants :

∀ m, n = 1, 2, 3 : d_mn = Tr{[_mnT].[P]}

Il se trouve que les premiers pas de la reconstruction de la partie principale [P] ont mené à calculer le produit matriciel :

Cette démarche a donc fait apparaitre une matrice [X] dont la diagonale coincide avec celle de la matrice [D]. Le calcul algébrique permet d'aboutir à la conclusion que :

∀ m, n = 1, 2, 3 : x_mn + x_nm = d_mn + d_nm

Le premier résultat algébrique fait apparaître une notion mathématique dont l'envergure dépasse largement le problème examiné ici. Je l'ai baptisé « fusion matricielle ». C'est a minima ce qu'inspire le formalisme de ce résultat. Chaque coefficient de degré deux de la polynomiale associée à la décomposition d'un produit vectoriel déformé par une matrice inversible est la trace d'un produit matriciel dont le second argument est la matrice [P] ardemment recherchée.

Un premier énoncé de cette notion, sans doute provisoire et perfectible, peut s'énoncer comme suit.

Soit un ensemble de neuf éléments [_mnM]d'un ensemble M(D, K) et un dixième éléments [P].

La fusion matricielle des neufs éléments par contact avec le dixième est l'application qui à ces dix éléments en fait correspondre un onzième défini par la relation :

{..., [_mnM], ...} → F_[P]{..., [_mnM], ...} = [Tr{[_mnM].[P]]

Le second résultat algébrique suggère d'introduire le concept de « matrices équivalentes ». Et, en quelque sorte, il le définit explicitement. 

[X] + [X]^t = [D] + [D]^t ⇐⇒ [X] ≡ [D]

Il est aisé de vérifier qu'il y a bien là une relation d'équivalence tout à fait standard puisque :

1) une matrice [X] est forcément équivalente à elle-même :

[X] ≡ [X]

2) si une matrice [X] est équivalente à une matrice [X’], alors évidemment :

[X] + [X]^t = [X’] + [X’]^t = [X] + [X]^t 

… et la matrice [X’] est équivalente à la matrice [X] – il y a bien réflexivité :

[X] ≡ [X'] ⇒ [X'] ≡ [X]

3) si une matrice [X] est équivalente à une matrice [X’], et si la matrice [X’] est équivalente à une matrice [X’’], alors :

[X] + [X]^t = [X’] + [X’]^t = [X’’] + [X’’]^t 

… et la matrice [X] est équivalente à la matrice [X’’] ; bilan : il y a bien transitivité :

{[X] ≡ [X'] et [X'] ≡ [X'']} ⇒ [X] ≡ [X'']

Cela étant acquis, il est pertinent de remarquer que deux matrices équivalentes (au sens donné ci-dessus à ce mot) ont la même diagonale et donc la même trace (l’inverse est faux) : 

[X] ≡ [D] ⇒ Trace{[X]} = Trace{[D]}

De plus quand les coefficients de la polynomiale  associée à la décomposition d’un produit vectoriel déformé ne dépendent pas du projectile (le premier argument de ce produit ; par exemple a pour [a, b][A]) :

[Hess_aΛ(a)] = [D] + [D]^t 

Il résulte de ces considérations qu’en général :

|A|.{[A]^-1.[J]}^t.[P] + [P]^t. {[A]^-1.[J]} = [D] + [D]^t = [Hess_aΛ(a)]

Un calcul complémentaire montre que la facteur apparu au cours de cette exploration coincide avec la matrice déformante effective (ou son inverse) :

{{[A]^-1.[J]}^t}^-1 = {[J]^t.{[A]^-1}^t}^-1 = {[A]^-1}^t}^-1. {[J]^t}^-1 = [A]^t.[J] = [A]*

Il résulte de toutes ces considérations algébriques que :

|A|.{[A]*^-1.[P] + [P]^t.{[A]*^-1}^t = [Hess_aΛ(a)]

Lemme 

La relation précédente lie toujours la partie principale [P] à l'inverse de la matrice déformante effective et à la Hessienne qui découle de la décomposition du produit vectoriel déformé qu'on a sous la main. 

Le lemme est finalement logique. Il n'y a en effet a priori aucune raison de privilégier une décomposition parmi l'infinité des décompositions possibles. Par contre, il semble normal qu'existe un lien entre la partie principale [P] et les deux facteurs jouant un rôle central dans l'apparition de la décomposition à laquelle elle correspond.

Cette affirmation semble judicieuse si on veut bien se souvenir :

1) du travail d'E. Cartan [01] sur les métriques associées aux aires (en évolution). Il contient l'information essentielle qu'une Hessienne peut s'identifier avec la représentation d'une métrique.

2) du principe d'indépendance entre une métrique (le savoir mesurer) et une connexion (le savoir déplacer) : le principe de Palatini.

La relation trouvée ci-dessus établit donc un lien assez précis entre (i) un certain type de métriques représentées par les Hessiennes des polynomiales associées aux décompositions de produits vectoriels déformés, (ii) un ensemble de connexions représentées des cubes antisymétriques et (iii) les parties principales des décomposition de ces produits vectoriels dans cet environnement-là.

Ces commentaires font progressivement comprendre que les réponses données par les mathématiques à la question (E) montreront toute leur importance dans tout cadre physique en autorisant l'application. 

Il faut se rappeler que la manière dont les liens entre métriques et connexions sont traités détermine actuellement un ensemble de théories : celle de la gravitation d'A. Einstein (compatibilité entre métrique et connexion plus absence de torsion), celle d'Einstein-Cartan, celles développées en physique quantique et en cosmologie (application stricte du principe de Palatini).

Le produit vectoriel habituel (classique) est en réalité un produit vectoriel déformé par la matrice [A] = [J] qui peut se comprendre comme la réduction du cube dont les noeuds sont les composantes du tenseur de Levi-Civita totalement antisymétrique de rang trois. 

Il se trouve que dans ce cas :

 |A| = |J| = -1

... et que :

 [A]* = [J]^t.[J] = Id₃ = ⁽³⁾[G(Euclide)]

Par définition, je dirais que la paire ([A], [G]) = ([J], Id₃) caractérise « l'ambiance euclidienne dans un espace vectoriel de dimension trois ».

Dans cette ambiance, le lemme précédent affirme que :

-{[P] + [P]^t} = [D] + [D]^t 

Il revient au même de dire que, dans cette ambiance euclidienne, la partie principale de la décomposition d'un produit vectoriel classique est toujours équivalente (au sens donné plus haut à ce mot) au signe moins près à la matrice [D] des coefficients de degré deux de la polynomiale résultant de cette décomposition :

[P] ≡ -[D]

Pour rappel : équivalent ne veut pas dire égal.

Une réflexion sur ce qu’est l’ambiance classique conduit bien vite à se rendre compte que le contexte classique dans lequel nous pensons vivre contient deux volets : celui des produits scalaires et celui des produit vectoriels. Dans un espace tridimensionnel euclidien, les deux volets sont liés, comme une relation trigonométrique simple et bien connue permet rapidement de s'en rendre compte ; en effet :

cos²θ + sin²θ = 1

... mène à :

∀ a, b ∈ E(3, R) : 
||a||².||b||².(cos²θ + sin²θ) = ||a||².||b||² 
⇓
||a||².||b||². cos²θ + ||a||².||b||².sin²θ = ||a||².||b||²
⇓
< a, b >_Id3 + ||a ∧ b||² = ||a||².||b||²

L’ambiance classique se caractérise donc de facto par la paire ([G] = Id₃, [A] = [J]). 

La formule générale reliant la Hessienne aux matrices [A]* et [P] (voir ci-dessus à la fin du § 3) suggère d’introduire une matrice [N] qui sera baptisée du mot « noyau ». Elle doit être équivalente à la moitié de la Hessienne de la polynomiale Λ associée à la décomposition dont la partie principale serait la matrice [P] recherchée :

[N] = |A|.{[A]^-1.[J]}^t.[P] ≡ ½.[Hess_aΛ(a)] 

Par ailleurs, puisque (i) n’importe quelle matrice peut toujours se décomposer en sa partie symétrique et sa partie antisymétrique ; (ii) la Hessienne de la polynomiale Λ est ici toujours symétrique, il semble pertinent d’envisager d’écrire :

[N] = [A]*^-1.[P] = ½.(1/|A|).[Hess_aΛ(a)] + [M]

avec :

[M] + [M]^t = [0]

Dans cette expression, la matrice [M] est forcément antisymétrique pour assurer l’équivalence entre le noyau et la moitié de la Hessienne. 

La représentation la plus simple d’une matrice antisymétrique est une rotation axiale autour d’un vecteur pour le moment indéterminé X ; tout ceci mène désormais à proposer une première mouture pour le formalisme de la partie principale [P] :

[P] = [A]*.{½.(1/|A|).[Hess_aΛ(a)] + _[J]Φ(X)}

C’est le moment de se souvenir que tout produit vectoriel déformé :

1) est la déformation effective d’un produit vectoriel classique ; 

2) possède toujours une décomposition triviale simple.

Ces rappels permettent d'écrire simultanément les relations suivantes :

| [a, b]_[A] > = _[A]Φ(a).| b > = [A]*.| a ∧ b > = [A]*._[J]Φ(a).| b >

Elles induisent :

{_[A]Φ(a) - [A]*._[J]Φ(a)}.| b > = | 0 >

De sorte que dans le cadre de cette discussion sur des décompositions (voir l'introduction aux décompositions dans les espaces de dimension entière quelconque égale ou supérieure à deux) ne dépendant jamais de la cible b, il en découle :

_[A]Φ(a) = [A]*._[J]Φ(a)

La décomposition triviale la plus simple d’un produit vectoriel déformé est la déformation effective de la décomposition triviale la plus simple d’un produit vectoriel classique. Je retrouve ici un résultat déjà obtenu sur la page présentant les décompositions des produits vectoriels déformés.

Dans le cadre de la suggestion faite au § 5 et avec l’information précédente en tête, il devient logique de dire que la partie principale [P] d’une décomposition se trouve de facto être la déformation du noyau matriciel :

[N] = ½.(1/|A|).[Hess_aΛ(a)] + _[J]Φ(X)

Puisque la suggestion permet d'écrire : 

 [P] = [A]*.[N]

Cette manière d'aborder la question (E) est-elle cohérente ? Si elle l'est, alors elle fournit les noyaux suivants pour une ambiance euclidienne :

[N(Euclidien)] = -½.[Hess_aΛ(a)] + _[J]Φ(X)

De manière générale, les décompositions triviales les plus simples font toujours partie des solutions. En ambiance euclidienne, la décomposition triviale la plus simple est réalisée lorsque :

_[J]Φ(a) = -½.[Hess_aΛ(a)] + _[J]Φ(X)

Comme la Hessienne est totalement symétrique et comme la matrice Φ est totalement antisymétrique, la cohérence de la démarche impose de caractériser les décompositions triviales les plus simples réalisées en ambiance euclidienne par deux relations supplémentaires :

([A], [G]) = ([J], Id₃)

⇓

X = a    [Hess_aΛ(a)] = [0]

Comme je l'ai montré sur une autre page, les décompositions triviales ne revêtent pas seulement le formalisme le plus simple. Il convient donc de considérer ce premier propos sur ce type de décompositions comme un cas particulier limite. La coincidence entre le vecteur X et le projectile a, ainsi que la nullité de la Hessienne de la polynomiale associée avec la décomposition qu'on a sous la main sont deux caractéres exceptionnels.

Savoir relier l'ambiance définie par une paire ([A], [G]) avec un ensemble de décompositions de produits vectoriels déformés n'a donc rien d'évident et cette exploration n'est pas encore achevée. Je la poursuis sur les pages suivantes aprés avoir présenté un exemple d'application de toutes ces considérations.

Cette page a été mise à jour le 21 septembre 2026.