La maison d'Hades

 Le sujet défraye actuellement la chronique, détournant ainsi un court instant la mémoire collective d'un bien triste événement survenu un onze septembre aux Etats-Unis ; je veux parler des équations de Navier-Stokes pour les fluides incompressibles.

Une société basant ses activités sur l'intelligence artificielle (OpenAI) affirme avoir résolu ces vieilles et célèbres équations le 8 septembre 2026. La presse en rend richement compte. Il faut reconnaitre que l'évènement est de taille, voire d'une portée historique ! Surtout si les solutions trouvées sont justes ... . L'alliance des mathématiciens allemands (Deutsche Mathematiker Vereinigung - DMV) emet des doutes à ce propos dans un article daté du 09 septembre 2026 [01].

Des annonces semblables à celle faite par openAI paraissent depuis quelques temps dans les revues centrant leurs thématiques sur les prouesses de l'intelligence artificielle (IA). Mais il convient à vrai dire de ne pas s'enthousiasmer trop vite de ces publications. L'exemple récent des problèmes soit-disant irrésolus laissés par le mathématicien Erdös illustre cette nécessité de prudence.

Le journal en ligne de la DMV signale que deux mathématiciens, Tristan Buckmaster - professeur de mathématiques à l'université de New-York- et Levent Alpöge (qui travaille pour Anthropic, un concurrent d'openAI) ont publié le 7 septembre 2026 un résultat concernant les équations d'Euler pour les écoulements incompressibles qui contredit ceux d'openAI. Ils l'ont obtenu à l'aide de diverses composantes de l'IA, dont certaines issues d'openAI. Ils brisent par là-même l'élan d'enthousiasme naissant. 

Concomitamment au doute jetté sur la validité des solutions proposées, une autre dispute débute ; celle-ci est juridique et morale. Si l'IA a résolu le problème bicentenaire, alors bravo ; mais à qui faut-il attribuer cette réussite. La société openAI ne revendique pas le million de dollars promis par l'Institut Clay pour cette prouesse. Elle aurait d'ailleurs dépensé dix fois plus pour parvenir à vaincre les difficultés techniques inhérentes à cette résolution. Sans compter que la démarche a impliqué un grand nombre d'acteurs humains, bien réels eux !

Les enjeux entourant l'IA sont gigantesques et multiples. Des réputations, des masses colossales d'argent, des principes moraux, des questionnements métaphysiques sur la manière de faire et d'enseigner les mathématiques ouvrent une boite de Pandore qui n'est pas prête de se refermer.

Cette page se penche sur les équations de Navier-Stokes décrivant les fluides incompressibles. L’arsenal algébrique mis au point au sein d’e ma théorie explorant les décompositions des produits vectoriels éventuellement déformés structure l’exploration. Il permet d’éclairer un des sept problèmes du Millenium [02] encore ouverts d’un regard nouveau. Le problème concerne l'existence (ou non) de singularités au sein des équations. Je les transcris ici dans un formalisme classique :

Les symboles mathématiques

La discussion a lieu au sein d’un espace vectoriel (e.v.) de dimension trois bâti sur le corps commutatif des nombres réels : V = E(3, R).

Les éléments de cet e.v. sont des vecteurs caractérisés par une écriture en lettre grasse.

Cet e.v. est rapporté à une base canonique Ω : (e₁, e₂, e₃) qui est elle-même un élément particulier de V³.

   1) L’écriture (∂X )/∂t représente un vecteur dont les composantes sont les dérivées partielles par rapport au temps du vecteurX.

   2) La notation < X, Y > désigne le produit scalaire euclidien classique de deux éléments de V.

   3) Le symbole ∇_xF est le gradient de la fonction F par rapport aux diverses composantes du vecteur x. 

   4) Le symbole div_xX est l'opérateur divergence classique appliqué à chacune des composantes d'un vecteur X. Pour chacune de ces composantes, il s’agit de la somme des dérivées partielles d’ordre un par rapport aux composantes successives du vecteur x ; dans V, l'indicatif i varie de 1 à 3.

   5) Enfin le symbole Δ_xX est l’opérateur de Laplace classique appliqué à chacune des composantes d'un vecteur X. Pour chacune de ces composantes, il s’agit de la somme des dérivées partielles d’ordre deux par rapport aux composantes successives du vecteur x ; dans V, l'indicatif i varie de 1 à 3.

Les quantités physiques impliquées dans ces équations de Navier-Stokes

Cette formulation des équations de Navier Stokes s’entend pour une densité volumique de matière ρ constante arbitrairement égale à un.
•    Le vecteur x représente la position spatiale d’un point du fluide à un instant donné t d’une chronologie propre à l’observateur étudiant ce fluide. 
•    Le vecteur u(x,t) représente la vitesse spatiale d’un point du fluide étudié lorsque celui-ci est en x à l’instant t.
•    Le scalaire ν est la viscosité du fluide.
•    Le scalaire p est la pression exercée sur le fluide.
•    Le vecteur f désigne l’ensemble des forces extérieures auxquelles le fluide peut être soumis (Il peut en particulier s’agir de forces newtoniennes).

Par conséquent, il est également possible de traduire les équations de Navier Stokes pour les fluides incompressibles (abrégé : ENSI) par :

Les écoulements des fluides font en général apparaitre deux régimes : laminaire et turbulent. Le second trouve en partie son origine dans la partie non-linéaire des équations. Il se trouve que celle-ci admet deux formulations alternatives.

Premièrement (preuve en annexe 01) :

Deuxièmement :

De sorte que les équations de Navier-Stokes peuvent encore être réécrites comme suit :

INTERPRETATION DE LA PARTIE BILINEAIRE DES EQUATIONS DE NAVIER-STOKES

Cette égalité peut se comprendre comme un exemple concret d’application de la théorie dite de la question (E) (abrégée en TQE) parce qu’elle est une décomposition non-triviale d’un produit vectoriel classique particulier ; à savoir : (∇_x ∧ u) ∧ u. 

Il se trouve que la physique impose le formalisme de la paire ([P], z) au travers des équations de Navier-Stokes ; plus précisément :

[P] = T₂(o)(∇_x, u)

z = -1/2. ∇_x(||u||²)

LIEN FORMEL AVEC LA THEORIE DES DEVELOPPEMENTS LIMITES

Concernant la partie principale, il est sans doute éclairant de constater une sorte de similitude avec les propos tenus sur la page présentant un lien entre la problématique des décompositions et le développement limité des fonctions vectorielles.

CADRAGE DES EQUATIONS DE NAVIER-STOKES AU SEIN DE LA THÉORIE DE LA QUESTION (E)

La décomposition des produits tensoriels, alternés et de Lie éventuellement déformés est l'objet principal des propos tenus sur tla-periat.fr. Pour rappel des pages précédentes sur ce sujet, soit a et b deux éléments de l’e.v. V dont le produit vectoriel classique a ∧ b se trouve être éventuellement modifié par des circonstances que l’élément [A] de M(3, R) représente pour devenir le produit vectoriel déformé [a, b][A]. La thématique consiste à découvrir les paires ([P], z) de M(3, R) x V générant les décompositions :

  | [a, b][A] > = [P]. |b > + | z >

La partie non-linéaire des ENSI se décompose trivialement lorsque le carré de la norme euclidienne classique de la vitesse spatiale d'écoulement constante dans l'espace réel tridimensionnel (ou, équivalemment, lorsque la quantité d'énergie cinétique par unité de masse est constante dans l'espace) :

∀ x : ||u||² = c^te

⇓

 z = 0

⇓

 | (∇_x ∧ u) ∧ u > = T₂(o)(∇_x, u).| u > = | du > + | 0(2) >

Ce qui peut encore se résumer approximativement avec la relation :

Rot_xu ∧ u = du 

La constance du carré de la norme spatiale de la vitesse u n'est pas synonyme de la constance spatiale de cette vitesse. Il existe donc éventuellement dans ces circonstances des variations spatiales de cette vitesse.

LEMME

La partie non-linéaire des ENSI est équivalente à une décomposition non-triviale du produit vectoriel classique (∇_x ∧ u) ∧ u caractérisée par la paire ([P], z) telle que :

[P] = T₂(o)(∇_x, u)

Tr{[P]} = 0

z = -1/2. ∇_x(||u||²)

La nullité de la trace de la partie principale de cette décomposition (i.e. : la matrice [P]) ne fait que traduire la nullité de la divergence de la vitesse u(x, t), c’est-à-dire l’incompressibilité du fluide étudié. La partie principale elle-même est une matrice Jacobienne et la partie résiduelle est, au signe moins près, reliée à l’énergie cinétique du fluide par unité de masse.

[01] Wurde das Navier-Stokes Problem gelöst? DMV-Blog [en ligne ; consulté le 10 septembre 2026] https://mathematik.de/dmv-blog/

[02] Fefferman, Charles, L.: Existence and smoothness of the Navier-Stokes equation. The Millenium problem, Clay Mathematical Institute, 2000, 6 p.

Page mise à jour le 12 septembre 2026