La maison d'Hades

J'introduis ici un concept qui me tient à coeur parce qu'il est l'héritage encore vivant de ma premiere leçon de calcul en « onzième » comme on appelait autrefois la première classe du parcours scolaire (CP).

En effet, autrefois (au début des années 1960), il était normal d'apprendre par coeur les tables de multiplication. Ma professeure avait pris soin de dessiner ce que je reconnaitrai plus tard comme étant une matrice et de la remplir avec les résultats des multiples d'un entier.

Elle avait poussé l'honnêteté intellectuelle jusqu'à avouer que l'auteur de ce type de dessin était un certain Pythagore. Je ne savais évidemment pas qui était ce personnage mais son nom est resté gravé dans ma mémoire et je lui dédie post-mortem les tableaux que j'utilise abondemment dans mes travaux.

La construction de ces tableaux s'inspire directement du concept de table de multiplication. Il le généralise simplement. Au lieu de bâtir les tables autour de la multiplication, je les construis autour de n'importe quelle opération binaire (synonyme : impliquant deux argument). Il peut donc s'agir de l'addition, de la soustraction, de la division, du produit tensoriel (déformé ou non), etc.

Ainsi, par convention du langage et par construction, j'appelle « table de Pythagore » bâtie sur le produit tensoriel ⊗ le foncteur qui à tout sous-ensemble de cardinal fini contenant m éléments choisis dans un ensemble E, et à tout sous-ensemble de cardinal fini contenant n éléments choisis dans un ensemble F (éventuellement égal à E) fait correspondre un tableau de n lignes et de m colonnes dont les entrées sont dans E ⊗

F.

Soit le cas particulier d'une paire (h, g) d'éléments choisis arbitrairement dans un espace vectoriel complexe de dimension trois. La table de Pythagore bâtie sur le produit tensoriel classique pour cette paire est l'élément de M(3, C) défini par :

1. Le déterminant de la table de Pythagore introduite ci-dessus est nul. Il est facile de le prouver ; tout simplement en constatant visuellement que tous les sous-déterminants sont nuls lorsque le calcul se réalise avec des nombres complexes. Par exemple :

h².g².h³.g³ - h².g³.h³.g² = 0

Il en est de même pour tous les autres sous-déterminants ; bilan :

|T₂(⊗)(h, g)| = 0_C

2. Toute matrice se laisse décomposer en sa partie symétrique et sa partie antisymétrique de manière simple et évidente ; concernant les éléments de M(3, C) par exemple :

∀ [M] ∈ M(3, C) :

[M] = 1/2.{[M] + [M]^t} + 1/2.{[M] - [M]^t}

Ce constat reste en particulier vrai pour les tables de Pythagore introduites précédemment parce qu'elles constituent un sous-ensemble de M(3, C) ; de sorte que :

∀ (h, g) ∈ E(3, C) x E(3, C) :

T₂(⊗)(h, g)

=

1/2.{T₂(⊗)(h, g) + T^t₂(⊗)(h, g)}

+ 1/2.{T₂(⊗)(h, g) - T^t₂(⊗)(h, g)}

3. La transposée d'une table de Pythagore bâtie sur le produit tensoriel classique et agissant sur une paire (h, g) est une table de Pythagore bâtie sur le produit tensoriel classique et agissant sur une paire (g, h) :

T^t₂(⊗)(h, g) = T₂(⊗)(g, h)

4. La partie antisymétrique d'une une table de Pythagore bâtie sur le produit tensoriel classique et agissant sur une paire (h, g) est une matrice représentant une rotation autour de l'axe donné par le produit vectoriel entre les vecteurs h et g :

5. Le déterminant de la partie symétrique d'une table de Pythagore bâtie sur le produit tensoriel classique et agissant sur une paire (h, g) est nul.

6. Les tables de Pythagore bâties sur le produit tensoriel classique et agissant sur des paires (h, g) de E²(3, C) ont un formalisme similaire à celui des noyaux de classe I dès le moment où il est possible de trouver une polynomiale Λ(projectile) dont la Hessienne vérifie :

[Hess_projectileΛ(projectile)] = 1/2.{T₂(⊗)(h, g) + T^t₂(⊗)(h, g)}

Ce constat fait de ces tables des candidats potentiels à appartenir à la classe II dès le moment où le problème de la jonction entre les vecteurs projectile, h et g est résolu.

[N]_II  = [A]*.T₂(⊗)(h, g)

La lecture de divers travaux consacrés à l’étude de la nullité du déterminant des Hessiennes fournit d'autres motifs à approfondir le sujet.

En effet, dans deux travaux datés respectivement de 1851, [01], et 1859, [02], O. Hesse a émis la proposition selon laquelle les Hessiennes dont les déterminants sont nuls correspondent toujours (sous-entendu : quelle que soit la dimension D de l’espace des discussions) à des hyper-surfaces conoïdales.

Cependant, P. Gordan et M. Noether montrent en 1876 dans [03] que la proposition d’O. Hesse est vraie pour D = 2, 3, mais découvrent des contre-exemples pour D plus grand ou égal à 4. Leur travail est réexaminé par R. Permutti en 1957 [04] et 1976 [05] puis par C. Lossen en 2004 [06].

Indépendamment de cette progression, U. Perrazo établit dès 1900 une classification dans P⁴, P⁵, P⁶ des hypersurfaces cubiques dont le déterminant de la Hessienne est nul, [07]. Par ailleurs, A. Franchetta établit en 1954 une classification des hypersurfaces dans P⁴ dont le déterminant de la Hessienne est nul, [08].

Bien que toutes les références citées soit un peu anciennes, voire très anciennes, j'espère avoir convaincu de l'intérêt de poursuivre cette exploration sur les noyaux de classe II.