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© Thierry PERIAT
Dans les espaces de dimension trois, il existe des triplés de vecteurs choisis dans E(3, C) formant des territoires (dits de Jacobi) caractérisés par le fait que - quelle que soit la matrice déformant le produit vectoriel classique, il en résulte un produit de Lie déformé.
Cette page se fixe pour objectif de préciser les caractéristiques du sous-ensemble des situations annulant le Jacobiateur pour le produit vectoriel déformé indépendamment de la matrice déformant le produit vectoriel classique.
Soit E(3, K) un espace vectoriel de dimension trois bâti sur un corps commutatif K (typiquement, les nombres réels ou les nombres complexes). Les éléments de cet espace sont munis d'un produit vectoriel déformé par un élément [A] de M(3, K). Soit P{E(3, K) ; 3} l'ensemble des parties de cet espace vectoriel dont le cardinal vaut trois.
Par définition, un élément {a, b, c} de P{E(3, K) ; 3} devient un territoire de Jacobi pour le produit vectoriel déformé [..., ...][A] lorsque - simultanément :
< a, b ∧ c > = 0K
< b, c ∧ a > = 0K
< c, a ∧ b > = 0K
Il convient de noter que, pour les espaces bâtis sur des corps commutatifs, la définition du produit vectoriel classique autorise à écrire :
a ⊥ a ∧ b
b ⊥ a ∧ b
b ⊥ b ∧ c
c ⊥ b ∧ c
c ⊥ c ∧ a
a ⊥ c ∧ a
Par définition, un élément de P{E(3, K) ; 3} forme un trièdre direct lorsque :
a ∧ b = c
b ∧ c = a
c ∧ a = b
Un trièdre direct dont les arguments forment un territoire de Jacobi est forcément un élément de P{E(3, K) ; 3} constitué par trois vecteurs dont la norme euclidienne est nulle. De sorte que si K = R, ce trièdre se réduit à {0, 0, 0}.
Par contre, si K = C (le corps commutatif des nombres complexes), alors ce trièdre est un ensemble de trois vecteurs isotropiques au sens donné à cet adjectif par E. Cartan dans [01]. Chaque vecteur isotropique de E(3, C) est associé à un spineur ; a minima selon une procédure explicitée dans cette référence [01 ; § 42, pp. 41-42].
Tout vecteur isotropique se définit par :
Iso{E(3, C)} = {s ∈ E(3, C) : < s, s > = 0C}
L'ensemble Iso{E(3, C)} n'est pas vide car il contient le vecteur nul.
Cartan introduit un type spécifique de matrices représentant dans M(2, C) n'importe quel élément de E(3, C), isotropique ou non. Chacune de ces matrices se caractérise par au moins deux propriétés :
∀ v ∈ E(3, C) → [M(v)] ∈ M(2, C)
1) son déterminant vaut moins une fois le produit scalaire euclidien de cet élément par lui-même :
|M(v)| = - < v, v > ∈ C
2) Le produit de la matrice représentant cet élément par le spineur qui lui est associable dans E(2, C) est nul :
{∀ v ∈ E(3, C) | < v, v > = 0} → {ξ(v) ∈ E(2, C) | [M(v)].| ξ(v) > = | 0 > ∈ C2}
Dans la pratique, le mathématicien français E. Cartan (1869 - 1951) a proposé le schéma [01 ; chapitre III, § 55, p. 43] :
Soit s un vecteur dont les composantes sont s1, s2 et s3.
Il est possible de lui associer au moins un spineur de composantes ξ0 et ξ1 grâce aux relations [01 ; chapitre III, § 52, p. 41] :
s1 = (ξ0)2 - (ξ1)2
s2 = i.{(ξ0)2 + (ξ1)2}
s3 = -2.ξ0.ξ1
i2 + 1 = 0
Preuve
1) Le vecteur s est effectivement isotropique :
< s, s >
=
(s1)2 + (s2)2 + (s3)2
=
{(ξ0)2 - (ξ1)2}2 - {(ξ0)2 + (ξ1)2}2 - 4.(ξ0)2. (ξ1)2
=
(ξ0)4 + (ξ1)4 - 2.(ξ0)2. (ξ1)2 - (ξ0)4 - (ξ1)4 - 2.(ξ0)2. (ξ1)2 + 4.(ξ0)2. (ξ1)2
=
0
2) La représentation matricielle du vecteur isotropique s est un élément dégénéré de l'ensemble M(2, C) et elle autorise la construction d'un système de combinaisons linéaires tel que :
s3.ξ0 + (s1 - i.s2).ξ1
=
-2.ξ0.ξ1.ξ0 + {{(ξ0)2 - (ξ1)2} + {(ξ0)2 + (ξ1)2}}.ξ1
=
0
Et :
(s1 + i.s2).ξ0 - s3.ξ1
=
{{(ξ0)2 - (ξ1)2} - {(ξ0)2 + (ξ1)2}}.ξ0 + 2.ξ0.ξ1.ξ1
=
0
Donc tel que :
[M(s)].| ξ > = | 0 >
c.q.f.d.
Le vecteur ξ de E(2, C) est bien un spineur associé au vecteur isotropique s au sens donné au concept de spineur par E. Cartan. Il devient progressivement clair que ce concept a un lien avec la recherche de solutions pour les systèmes de combinaisons linéaires dégénérés. Néanmoins, deux questions surgissent :
1) Est-ce la seule manière d'associer un vecteur isotropique et un spineur ?
2) Quel est donc le lien entre le concept de spineur et celui de territoire de Jacobi ?
La démarche décrite dans [01] revient à associer un vecteur isotropique de E(3, C) à un spineur de E(2, C) de manière à ce qu'il devienne possible de construire un système dégénéré de deux combinaisons linéaires à l'aide de ce spineur et de son vecteur isotropique associé.
Elle est la première illustration concrète de l'application suivante :
ξ ∈ E(2, C)
↓
Iso(ξ) = s : < s, s > = 0C et [M(s)].| ξ > = | 0 >
Une des questions laissées en suspens par la démarche concerne les propriétés de l'application « Iso » telle qu'elle vient d'être définie. Est-elle injective, surjective, bijective ?
Plusieurs vecteurs isotropiques peuvent être associés à un élément donné de E(2, C).
Le formalisme de l'association proposée dans [01] fait immanquablement penser à des formules qui se trouvent dans les travaux de Weierstrass sur les surfaces minimales [02].
Quoiqu'il en soit, chaque composante du vecteur s peut se comprendre comme la représentation d'un type de coniques (in extenso et respectivement : les hyperboles, les cercles, les paraboles) d'un plan dont les composantes du vecteur ξ fournissent les directrices.
Ce constat invite à généraliser l'exemple donné dans [01] en écrivant :
s1 = a100.(ξ0)2 + a101.ξ0.ξ1 + a111.(ξ1)2
s2 = a200.(ξ0)2 + a201.ξ0.ξ1 + a211.(ξ1)2
s3 = a300.(ξ0)2 + a301.ξ0.ξ1 + a311.(ξ1)2
En pratiquant de la sorte, trois éléments de l'espace vectoriel E(3, C) sont expressément créés et impliqués dans les calculs qui vont suivre ; il s'agit de :
a1 : (a100, a101, a111) ∈ C3
a2 : (a200, a201, a211) ∈ C3
a3 : (a300, a301, a311) ∈ C3
Ceci étant dit, le calcul du produit scalaire euclidien du vecteur s ainsi défini par lui-même peut commencer et il fournit de manière générique l'expression :
< s, s >
=
A.(ξ0)4 + B.(ξ0)3.ξ1 + C.(ξ0)2.(ξ1)2 + D.ξ0.(ξ1)3 + E.(ξ1)4
Il est toujours possible de l'annuler, donc de rendre le vecteur s isotropique, quel que soit le vecteur ξ en posant simultanément cinq conditions :
A = < a1, a1 > = 0C
B = < a1, a2 > = 0C
C = < a1, a3 > + < a2, a2 > = 0C
D = < a2, a3 > = 0C
E = < a3, a3 > = 0C
Ces conditions signent :
Tout élément {a1, a2, a3} de P{E(3, C) ; 3} qui satisfait simultanément aux cinq conditions précédentes est apte à faire correspondre un élément s de Iso{E(3, C)} à chaque vecteur ξ donné dans E(2, C). Quand tel est le cas, deux des trois vecteurs contenus dans {a1, a2, a3} sont isotropiques.
Le fait de satisfaire ces cinq conditions ne suffit pas à faire du vecteur ξ un spineur au sens donné à ce concept dans [01].
En revanche, un élément de P{E(3, C) ; 3} constitué de trois vecteurs isotropiques vérifiant les cinq conditions précédentes peut, en particulier, former un trièdre direct (voir la définition ci-dessus) et devenir ainsi un territoire de Jacobi.
Ce constat justifie a posteriori le long détour réalisé sur cette page.
Je le complète pour déterminer dans quels cas le vecteur ξ est un spineur au sens donné à ce concept par E. Cartan [03].
Le lien entre vecteurs isotropiques de E(3, C), un ensemble particulier d’éléments dans M(3, C) et des éléments de E(2, C) a été établi ci-dessus. Ces derniers ne peuvent pas encore être labellisés « spineurs » ; il faudrait pour cela valider les relations :
s3.ξ0 + (s1 - i.s2).ξ1 = 0
(s1 + i.s2).ξ0 - s3.ξ1 = 0
La première de ces deux relations s’écrit :
{a300.(ξ0)2 + a301.(ξ0).(ξ1) + a311.(ξ1)2}.ξ0
+
{(a100 - i-a200).(ξ0)2 + (a101 - i.a201).(ξ0).(ξ1) + (a111 - i.a211).(ξ1)2}.ξ1
=
0
Concrètement, il s’agit d’un polynôme de degré trois écrit en fonction (au choix) de l’une ou l’autre composante du vecteur ξ de E(2, C) dont on explore la capacité á devenir (ou non) un spineur au sens donné à ce concept par E. Cartan (voir ci-dessus).
(a111 – i.a211).(ξ1)3
+ (a101 + a311 - i.a201).(ξ0).(ξ1)2
+ (a100 + a301 – i.a200).(ξ0)2.(ξ1)
+ (a300).(ξ0)3
=
0
La seconde relation est également un polynôme de degré trois. Ces deux polynômes et les cinq conditions établies précédemment doivent être simultanément valides pour que le vecteur ξ soit un spineur.
Si {a1, a2, a3} est donné de telle sorte que les cinq premières conditions soient valides, les vecteurs de E(2, C) héritant du label de « spineur » sont ceux dont les composantes sont communes aux deux polynômes de degré trois obtenus de la manière qui vient d'être décrite.
Si les deux polynômes sont distincts il est possible de résoudre l’un des deux avec la méthode de Tartaglia-Cardan (voir comment sur une page de ce site) puis d’injecter ses solutions dans le second.
Un polynôme ne dépendant plus qu’une des deux composantes en résulte. Il peut se résoudre à son tour.
Bilan
Les composantes complexes ξ0 et ξ1 peuvent s’écrire en fonction des entrées de la matrice de M(3, C) exprimant les composantes des vecteurs de l’ensemble {a1, a2, a3}. Les calculs algébriques promettent d'être particulièrement longs. Ils seront réalisés ultérieurement à part.
Il sera formellement intéressant de savoir si la matrice en question peut parfois être une matrice déformante.
Il existe une vague similitude entre la proposition d'E. Cartan et une représentation des surfaces minimales parue en 1866 due à Karl Wilhelm Theodor Weierstrass [04 ; p.385]. Pour en savoir un peu plus sur les surfaces minimales de R x R x R, voir par exemple : [05] ou [06].
Soit f et g deux fonctions holomorphes qui dépendent du paramètre complexe ς.
Soit le vecteur dont les composantes complexes sont données par le triplé :
dZ(ς)/dς
≡
1/2.f.(1 - g2), 1/2.f.(1 + g2), 1/2.f.g
Il est connu que Z(ς) est une courbe paramétrique isotrope, parce que son vecteur tangent (celui dont les composantes sont écrites ci-dessus) est isotropique ; en effet :
< dZ(ς)/dς, dZ(ς)/dς >
= ¼.f2.{(1 + g4 - 2.g2) - (1 + g4 +2.g2) + 4.g2}
=
0
L’avantage de la représentation de Weierstrass (né à Ostenfelde en1815 – mort en 1897 à berlin) tient au fait que la partie réelle de Z(ς) est une surface de R3 représentée paramétriquement par les composantes réelles du nombre complexe ς. Concrètement :
ς = ς1 + i.ς2 ∈ C
(ς1, ς2) ∈ R2
Réel{Z(ς)} = Φ(ς1, ς2) ≡ surface minimale
La question de savoir comment reconnecter le travail de Weierstrass avec celui de Cartan se pose. Elle se résoud assez facilement en supposant que la fonction holomorphe g(ς) est un ratio dont le dénominateur n'est pas nul :
g(ς) = ξ1/ξ0
L'injection de cette hypothèse dans les composantes du vecteur tangent isotropique transforme celles-ci en :
1/2.{f(ς)/(ξ0)2}.((ξ0)2 - (ξ1)2, i.{(ξ0)2 + (ξ1)2}, 2.(ξ0)(ξ1))
Il suffit alors de poser :
f(ς) = 2.(ξ0)2
... pour retrouver un vecteur sont les composantes complexes sont celles proposées par E.Cartan dans [01 ; chapitre III, § 52, p. 41]. Comme il est possible de passer des (f, g) de Weierstrass aux (ξ0, ξ1) de Cartan et inversement , il devient envisageable de fabriquer des représentations graphiques des spineurs d'E. Cartan. Ce qui sera également l'objet de travaux ultérieurs.
[01] Cartan, E.: The theory of spinors; ISBN 0-486-64070-1, translation of the « Leçons sur la théorie des spineurs (2 volumes) », Hermann, 1937 - 154 p. Dover Publications, Inc. New York © by Hermann, Paris (1966), 157 pages.
[02] Contributeurs de Wikipédia, "Karl Weierstrass," Wikipédia, l'encyclopédie libre, [en ligne ; lien externe consultable à l'adresse] https://fr.wikipedia.org/wiki/Karl_Weierstrass (Page consultée le 5 octobre 2026).
[03] Contributeurs de Wikipédia, "Élie Cartan," Wikipédia, l'encyclopédie libre, [en ligne ; lien externe consultable à l'adresse] https://fr.wikipedia.org/wiki/%C3%89lie_Cartan (Page consultée le 5 octobre 2026).
[04] Lexikon der Mathematik, Band 5. Sed bis Zyl. © 2002 Spektrum Akademischer Verlag GmbH, Heidelberg, ISBN 3-8274-0437-1, 483 S.
[05] Sefra, F. : Sur les surfaces minimales dans R3 ; mémoire présenté pour le diplôme de master en mathématiques, spécialité : Analyse mathématique et applications, année universitaire 2009 – 2010, 57 pages. Université Yahia Farès de Médéa, Faculté des sciences, Département de mathématiques et informatique.
[06] Roshan Sharma (2013) “The Weierstrass representation always gives a minimal surface”, Rose-Hulman Undergraduate Mathematics Journal: Vol. 14 : Iss. 1, Article 4, 9pages. available at (lien externe vers un site américain): https://scholar.rose-hulman.edu/rhumj/vol14/iss1/4.
Page mise en ligne le 5 octobre 2026
et mise à jour le 7 octobre 2026