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© Thierry PERIAT
Les réflexions menées au cours des sections précédentes mènent à proposer le formalisme suivant pour le noyau des décompositions des produits vectoriels déformés :
D12 = (d12 + d21) D23 = (d23 + d32)
D13 = (d13 + d31)
Cette hypothèse de travail diffère légèrement de celle utilisée dans le brouillon déposé sur vixra mais cette différence sera sans importance.
Je reviendrais un peu plus tard sur ce nouveau choix car, bien qu’il ait été largement justifié au cours des sections précédentes, je n’ai pas encore prouvé qu’il s’agissait-là du seul formalisme acceptable ou du formalisme le plus général possible.
Par conséquent, ce qui suit est – stricto sensu- un exercice pédagogique qui livrera un premier ensemble de noyaux répondant à la question (E).
Quelques manipulations peuvent aboutir à une première formulation du déterminant de la transposée du noyau proposé mais elle ne m'intéresse pour le moment pas car je suppose seulement a priori pour les besoins de ce qui suit qu'il est différent de zéro pour pouvoir inverser la matrice [N]t :
|Nt| ≠ 0
Par convention je note ici :
J'ai eu l'occasion de montrer en section 03 que :
[L] = |P|.[J].{[N]t}-1
Ce qui se traduit un tout petit peu plus précisément par :
Concernant le facteur précédant la matrice, il convient de se souvenir du fait que :
[P] = [A]*.[N]
D’où il est facile de déduire que :
|P| = |A*|.|N|
Mais comme le déterminant d’une matrice vaut le déterminant de sa transposée ( [M] : |M| = |[M]t|) et que, par définition :
[A]t.[J] = [A]*
Il suit :
|A*| = - |A|
Et :
|P|/|Nt| = - |A|
J’ai également montré que :
d1 = L12 + L33
d2 = L23 - L11
d3 = -L31 - L22
Ces relations peuvent désormais s’exprimer en fonction des entrées de l’inverse de la transposée du noyau :
d1 = - |A|.(n32 – n23) = |A|.(n23 – n32)
d2 = - |A|.(n13 – n31) = |A|.(n31 – n13)
d3 = - |A|.(n21 – n12) = |A|.(n12 – n21)
Concrètement, il suffit de calculer six des neuf entrées de l’inverse de la transposée du noyau pour exprimer les coefficients de degré un de la polynomiale Λ.
Ces relations mènent à un système de trois combinaisons écrites en fonction des (X, Y, Z) qui seront interprètées comme étant les composantes d'un vecteur inconnu-1 tandis que les coefficients de degré un formeront un vecteur noté d* :
{[D] + [D]t}.| inconnu-1 >
=
(|N|/|A|). | d* > + | inconnu-2 >
C'est le moment de se souvenir de :
En conséquence de quoi, le système obtenu se réécrit :
[HessaΛ(a)].| inconnu-1 >
=
(|N|/|A|). | d* > + | inconnu-2 >
Et il convient d'introduire une classification des Hessiennes des polynomiales Λ(a) associées aux décompositions des produits vectoriels déformés.
Un calcul classique aboutit à :
|H|
=
- 2.d11.(D23)2 - 2.d22.(D13)2 - 2.d33.(D12)2
+ 2.D12.D23.D13 + 8.d11.d22.d33
Elles se caractérisent évidemment par |H| ≠ 0 et par le fait qu'il devient possible d'écrire le vecteur d* en fonction du vecteur singulier s et d'isoler enfin les composantes X, Y et Z du vecteur inconnu-1 :
| 0 > = [HessaΛ(a)].| s > + | d* >
Et :
| inconnu-1 >
=
- (|N|/|A|). | s > + [HessaΛ(a)]-1.| inconnu-2 >
Les composantes du vecteur inconnu-2 sont en réalité connues et dépendantes des coefficients de la polynomiale puisqu'elles valent :
(- d11.D23, d22.D13 - D12.D23, - d33.D12)
Quelques calculs algébriques supplémentaires aboutissent à prouver que :
(X, Y, Z)
=
- (|N|/|A|). (s1, s2, s3) - 1/2.(D23, D13, D12)
Ce qui a le charme de fournir le formalisme du noyau :
[N] = 1/2.[HessaΛ(a)] + (|N|/|A|).[J]Φ(s)
C'est bien le formalisme-type déjà trouvé dans le document que j'avais déposé sur vixra.
La résolution de la question de la reconstruction de la partie principale des décompositions des produits vectoriels déformés est désormais bien avancée. Elle n'est pas pour autant encore complètement achevée. Deux sujets restent ouverts :
1) le calcul du déterminant du noyau ou de la partie principale ;
2) le cas des polynomiales impropres.
Page mise à jour le 24 septembre 2026
© Thierry PERIAT