Équation de Klein Gordon

 L'équation de Klein Gordon [01] joue un rôle majeur en physique. Elle décrit la propagation des ondes (éventuellement massives) et il s'avère juste de la considérer comme la « mère » de l'équation de Dirac [02 ; § B.1.a, pp. 1205-1206] dont l'importance au sein de la physique quantique n'est plus à démontrer.

Sur cette page je vais montrer son lien avec la relation de dispersion des ondes dans les régions vides et sans courbure de l'univers ainsi qu'un lien avec la théorie des produits vectoriels déformés puis décomposés lorsque ces ondes sont massives. La paramétrisation d'Euler Rodrigues remplit là une fonction essentielle.

 L'équation de Klein Gordon peut être traitée dans le cadre d'une approche théorique se préoccupant de décomposer les produits vectoriels déformés. La démarche présente au demeurant des similitudes avec celle qui a été mise en oeuvre pour l'élément de longueur riemannien.

Une recherche bibliographique permet de vérifier que la lumière diffuse librement dans le vide en respectant la relation [01 ; p. 4, (5)] :

E² = m².c⁴ + c².p²

Aussi étonnante que puisse paraître cette affirmation, cette relation se laisse relier à l'équation de Klein Gordon qui décrit la propagation des ondes massives dans le vide. La correspondance est réalisée en suivant des prescription émises au début du vingtième siècle dans le cadre de la physique quantique ; à savoir [01 ; p. 4, (1)] :

Un chemin inverse à celui du paragraphe précédent peut être suivi. Autrement dit, la formulation restreinte de l'équation de propagation des ondes dans une région vide sans courbure permet de retrouver la relation de dispersion des ondes dans ces régions-là.

En effet, en considérant les solutions génériques de l'équation de propagation des ondes données dans [01 ; chapitre 2, § 2.6, p. 16, (43)] :

La relation de dispersion établie dans le cadre de la relativité peut se lire, donc s'interpréter, autrement en portant la discussion physique dans un espace de dimension quatre où la géométrie est de Minkowski avec une signature (+ - - -). L'impulsion relativiste est maintenant un élément de E(4, R) qui se note :

⁽⁴⁾p : (E/c, ⁽³⁾p)

Dans ce contexte géométrique, la relation de dispersion de la lumière dans les régions vide prend un nouveau visage :

< ⁽⁴⁾p, ⁽⁴⁾p >_[η] = m².c² 

Il existe donc a priori au moins deux grandes familles de situations naturelles :

1) Celle concernant les phénomènes ayant une masse nulle : m = 0 ; auquel cas, cette relation s'écrit :

< ⁽⁴⁾p, ⁽⁴⁾p >_[η] = 0 

... et l'impulsion « relativiste » devient une sorte de spineur dans une géométrie non-euclidienne.

2) Celle concernant les phénomènes possédant une masse non-nulle : m ≠ 0 ; auquel cas cette relation décrit une sphère unitaire de dimension quatre et elle se laisse paramétriser à l'aide des travaux d'Euler et Rodrigues [03]. Il se trouve que cette famille de situations peut se rebrancher avec l'exploration concernant les décompositions des produits vectoriels déformés qui a été exposée sur ce site. 

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La matrice paramétrisant la relation de dispersion de la lumière dans le vide s'écrit donc :

[M(⁽⁴⁾η)]

=

 {2.(η⁰)² - 1}.Id₃ + 2.T₂(⊗)(⁽³⁾η, ⁽³⁾η)

+ 2.η⁰._[J]Φ(⁽³⁾η)

Il n'est alors pas possible de ne pas voir une certaine similitude avec le formalisme des noyaux des parties principales des décompositions de produits vectoriels obtenu en section 04 de la procédure de reconstruction.

[N]

=

 1/2.[Hess_aΛ(a)] + (|N|/|A|)._[J]Φ(_Λs)

Chaque fois qu'il existe une polynomiale Λ propre de degré au moins égal à deux (synonyme : sa Hessienne n'est ni nulle, ni dégénérée) telle que :

[Hess_(3)η Λ(⁽³⁾η)]

=

 {2.(η⁰)² - 1}.Id₃ + 2.T₂(⊗)(⁽³⁾η, ⁽³⁾η)

Et dont le vecteur singulier vaut :

(|N|/|A|)._Λs = 2.η⁰.⁽³⁾η

La relation de dispersion des ondes massives dans les régions vides est associable avec un produit vectoriel déformé qui a été décomposé :

∃ | [⁽³⁾η, ...]_[A] >

=

 [A]*.[M(⁽⁴⁾η)].| ... > + | z >

Lorsque le produit vectoriel est classique :

∃ | ⁽³⁾η ∧ ... >

=

 [M(⁽⁴⁾η)].| ... > + | z >

=

{{2.(η⁰)² - 1}.Id₃ + 2.T₂(⊗)(⁽³⁾η, ⁽³⁾η) + 2.η⁰._[J]Φ(⁽³⁾η)}.| ... > + | z >

Peut-être contre-intuitivement, les régions vides peuvent à la fois ne pas avoir de courbure géométrique (un tenseur de Ricci nul) et une géométrie inconstante. La lecture de la référence [05 ; § 92, pp. 312-319]  suffit à convaincre de la validité du propos.

La conséquence de cet état de fait est qu'il est nécessaire de disposer d'une formulation plus générale de l'équation de Klein Gordon pour tenter de décrire la propagation des ondes (éventuellement massives) dans les régions vides de l'univers.

Il est possible d'en trouver une dans [06 ; p.10, (2.1)] et de montrer qu'elle est équivalente à l'existence d'une polynomiale de degré deux qui dépend de ...

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[01] Dyson, Freeman, J.: Quantenfeld-theorie (Die Weltbekannte Einführung von einem der Väter der QED); Springer Spektrum, ISBN 978-3-642-37677-1, © Springer Verlag Berlin Heidelberg 2014, 288 pages.

[02] Cohen-Tannoudji, C., Diu, B. et Laloe, F. : Mécanique quantique, tome II, Collection enseignement des sciences, 3ème édition revue et augmentée de 1986 ; © 1973 Hermann, Paris, ISBN 2-7056-6023-2, 1518 p. (la totalité des deux tomes).

[03] Diebel, J.: Representing attitude: Euler's angles, unit quaternions and rotation vectors.

[04] Stülpnagel, J.: On the parametrization of the three-dimensional rotation group; SIAM Review Vol. 6, No. 4, October, 1964.

[05] Landau, L.D. und Lifschitz, E.M.: Lehrbuch der theoretischen Physik, Band II, Klassische Feldtheorie; 12. überarbeitete Auflage, in dt. Sprache hrsg. von Hans-Georg Schöpf [Übers. aus dem russ. von Georg Dautcourt], - 1992, ISBN 3-05-501550-9. 

[06] Birell, N. D. and Davies, P. C. W.: Quantum fields in curved spacetime; Cambridge monographs on mathematical physics, \copyright Cambridge University Press 1982, first paperback 1984, reprinted 1989, 1992, 1994, 0-521-27858-9 paperback edition, 340 pages.

© Thierry PERIAT

Cette page a été mise en ligne

le 13 octobre 2026