La maison d'Hades

Les conditions faisant d'un produit vectoriel déformé un produit de Lie déformé ont été étudiée sur une page précédente. Il en existe deux familles particulières et particulièrment intéressantes pour les mathématiciens.

L'une des deux permet de définir les territoires de Jacobi. L'autre constitue l'objet de cette page. Elle présente la particularité d'être associée aux matrices déformantes dont les entrées satisfont la condition :

∀ i = 1, 2, 3

∀ A ∈ ⊞^-(3, C) ⇒ ∃ [A] ∈ M(3, C) ≡ A :

(Aⁱ₁₂. A²₂₃ + Aⁱ₁₂. A¹₁₃ + Aⁱ₁₃. A³₂₃) 

=

 (Aⁱ₂₃. A³₁₃ + Aⁱ₂₃. A²₁₂ + Aⁱ₁₃. A¹₁₂) 

Il serait agréable de pouvoir condenser cette condition. Cette opportunité est peut-être donnée en visualisant le cube A dans un espace de dimension trois. Il est constitué par la superposition de trois éléments de M(3, C) dont les entrées peuvent génériquement être labellisées de la sorte (choix arbitraire) :

profondeur, ligne, colonne = 1, 2, 3

A^ligne_{colonne-profondeur}

Avec cette convention, n’importe quel cube (3-3-3) à nœuds dans C est la superposition de trois matrices :

 [A]_(profondeur)

De sorte que :

• (i) en additionnant sur les indices i de 1 à 3 ;
• (ii) en notant les indices modulo 3 ;
• (iii) en tenant compte de l’antisymétrie sur les indices bas,

... la condition étudiée peut maintenant s’écrire (le symbole Tr{...} désigne la trace de ...) :

∀ i = 1, 2, 3 :
( ∑_i Aⁱ₁₂ ). Tr{[A]₍₃₎}
+ ( ∑_i Aⁱ₂₃ ). Tr{[A]₍₁₎}
+ ( ∑_i Aⁱ₃₁ ). Tr{[A]₍₂₎}
=
∑_m (∑_i Aⁱ_m-m+1). Tr{[A]_(m+2)}
= 
0

Une observation attentive de la matrice déformante [A] conventionnellement définie par :

[A]

=

... mène au constat que chacune des trois sommes :

∑_i Aⁱ_m-m+1 est la somme des entrées d'une des trois lignes de la matrice déformante [A].

Ainsi, en décidant de considérer que toute matrice déformante est la superposition des représentations duales dans C³ de trois vecteurs a_2.m+1, la condition transformant un produit vectoriel déformé par la matrice [A] en un produit de Lie déformé par cette matrice s'écrit conventionnellement :

∑_m a^⊕_2m+1. Tr{[A]_(m+2)} = 0

Cette formulation est certes condensée mais, à ce stade, il est difficile d'en faire quelque chose.

Il existe une autre manière de condenser la consdition concernant chaque composante du Jacobiateur et je vais la présenter.

Elle n'est cependant pas totalement orthodoxe parce qu'elle ne considère pas chaque composante isolément mais le Jacobiateur comme un tout.

Ce qui suit ne peut être visualisé que sur un ordinateur et en activant le widget permettant la lecture des équations (MathJax)

Le Jacobiateur d'un quelconque élément {a, b, c} de P{E(3, C) ; 3} pour le produit vectoriel déformé par une matrice [A] de M(3, C) s'annule dès le moment où la condition vectorielle suivante est vérifiée :

{-[A].[J]^t._[J]Φ([A].| Ω >)}^⊕ = 0_{E(3, C)} 

Cette formule fait apparaître une matrice de type Φ mimant la représentation d'une rotation axiale. La matrice qui figure ici diffère cependant totalement de sa petite soeur.

Tout d'abord parce qu'elle n'est plus un élément de M(3, C) mais une matrice dans M(3, E(3, C)). Autrement dit, ses entrées sont des vecteurs à composantes dans le corps commutatif des nombres complexes et non plus simplement des nombres complexes.

Ensuite le vecteur X qui est l'argument de cette matrice de type Φ n'est rien d'autre que la base canonique initiale Ω transformée par la matrice déformante [A].

Ici, la base est considérée comme un quelconque élément de E³(3, C) mais, à ce stade des explorations, rien ne donne l'assurance que le vecteur X représente une nouvelle base.

Dans le cadre de cette théorie, le calcul vectoriel classique est un produit vectoriel déformé par le générateur du groupe cyclique C6, c'est-à-dire la matrice [J]. En injectant l'égalité [A] = [J] dans la formule condensée trouvée ci-dessus, celle-ci se ramène à :

{_[J]Φ([J].| Ω >)}^⊕ = 0_{E(3, C)} 

Elle est alors une tautologie/évidence car la somme des arguments d'une matrice de type Φ est toujours nulle. Ce qui redémontre que le produit vectoriel classique définit bien un crochet de Lie et que {E(3, C), ∧} est une algèbre de Lie.

Ainsi, bien que cette seconde manière de condenser le Jacobiateur puisse sembler non-orthodoxe dans le sens qu'elle laisse encore de nombreuses portes ouvertes vers des sujets non explorés, elle permet a minima de retrouver un résultat connu. Ce qui a l'avantage d'être rassurant.

© Thierry PERIAT

Page créée le 7 octobre 2026