La maison d'Hades

 La mesure des longueurs revêt une importance cruciale dans de très nombreuses disciplines ; entre autres : l'agriculture, l'économie et, bien entendu, la géométrie.

Parce que, de tous temps, le fermier a eu besoin de connaitre les dimensions de ses champs, le promeneur une estimation des distances le séparant de son objectif, les humains ont ressenti la nécessité de se doter de géomètres et ceux-ci ont fini par développer les techniques permettant le calcul des éléments de longueur.

Cette version caricaturale et abrégée de l'histoire humaine n'a pour modeste ambition que de rappeler grossièrement (i) quelles ont pu être les raisons motivant la naissance du théorème de Pythagore, puis -bien plus tard- du calcul infinitésimal (Descartes et Leibnitz) et des travaux de Riemann [01 ; GB] ; (ii) l'importance de ce concept au sein de la théorie de la relativité générale d'A. Einstein [02 ; DE].

(δs)² = ∑_λ ∑_μ g_λμ.δx^λ.δx^μ 

Cette relation est la proposition de Riemann généralisant le théorème de Pythagore à une géométrie quelconque représentée par une matrice carrée [G].

En physique, elle est la solution dans un espace de dimension quatre (D = 4) des équations du champ dans la théorie d'A. Einstein (voir la démonstration dans [03 ; FR]) et le point de départ du remarquable travail d'E. Cartan [04 ; FR] menant à nouveau aux équations maitresses de la relativité - avec la présence d'un terme pouvant jouer le rôle d'une constante cosmologique- par un chemin alternatif.

Sur cette page, elle sera le point de départ d'une analyse réalisée avec l'aide des résultats accumulés au cours de l'exploration menée sur les décompositions dans les espaces de dimension trois des produits vectoriels déformés, et du formalisme proposé dans les années (mille neuf cent) soixante par le trio A.D.M. [05 ; USA] mieux connu de ce côté de l'Atlantique sous le label de « décomposition 3 + 1 » de l'espace-temps [06 ; USA].

Ainsi, l'élément de longueur riemannien peut toujours se décomposer algébriquement comme suit :

(δs)²

=

 ∑_a ∑_b g_ab.δx^a.δx^b + δx⁰.∑_a (g_a0 + g_0a).δx^a + g₀₀.(δx⁰)² 

Ou, dans le cadre A.D.M. [05 ; p. 7, (3.9), (3.10) et (3.11)] :

(δs)²

=

 ∑_a ∑_b g_ab.δx^a.δx^b + 2.δx⁰.∑_aN_a.δx^a + (N² - ∑_a N_a.N^a).(δx⁰)² 

Quelle que soit la formulation choisie, il est toujours possible de réécrire cet élément de longueur de telle sorte qu'il devienne un polynôme de degré deux exprimé en fonction des trois composantes du petit déplacement vectoriel spatial δx.

Puisque l'élément de longueur riemannien peut toujours se réécrire de la manière indiquée ci-dessus et puisque tout produit vectoriel éventuellement déformé puis décomposé est irrémédiablement associé avec l'existence d'un polynôme de degré deux exprimé en fonction des trois composantes du premier argument figurant dans ce produit vectoriel (le projectile dans la sémantique de cette théorie) à cause du théorème initial, il naît l'idée que l'élément de longueur riemannien est l'expression de la décomposition d'un produit vectoriel éventuellement déformé du genre :

| [δx, ...]_[A] > = [P].| ... > + | z >

Si l'idée mathématique correspond ici à la réalisation d'un phénomène physique effectif, il faut se demander lequel ? Les premiers résultats concernant les déformations des produits vectoriels classiques ont fourni la formule générique :

[A]^t.[J].| δx ∧ ... > = [P].| ... > + | z >

Par conséquent, aussi longtemps que la matrice déformante est inversible, l'idée évoquée ici permet de penser que tout élément de longueur riemannien est associé avec un produit vectoriel classique tel que :

| δx ∧ ... > = {[A]*}^-1.{[P].| ... > + | z >}

Où [A]* = [A]^t.[J] est la matrice déformante effective (rappel). De la première idée née de cette analyse en découle une seconde contenue dans cette interrogation :

 « Pourquoi ne pas associer un moment angulaire avec chaque élément de longueur ? »

L'hypothèse n'est pas totalement infondée, ne serait-ce que pour les motifs suivants :

1) La démarche suivie dans l'oeuvre d'E. Cartan approfondit la représentation des réflections et des rotations ; voir [07]. Elle aboutit à introduire la notion de spineur et les connexions spinorales, y compris dans la théorie de la gravitation proposée par A. Einstein ; d'où [04].

2) Les interactions électromagnétiques sont véhiculées par des particules caractérisées par des spins dits intrinsèques. Les photons, bien que leurs spins intrinsèques soient nuls, font partie de ces particules porteuses et leurs trajectoires suivent des géodésiques dont les équations sont justement données par la relation proposée par Riemann. 

3) Elle suggère que la propagation des signaux lumineux coincide avec le développement d'une surface minimale de type hélicoidal.

Ces propos liminaires intuitifs doivent bien entendu être précisés et aproffondis avec la rigueur nécessaire.

Donner vie à l'idée énoncée ci-dessus consiste à supposer l'existence d'un polynôme Λ(δx) tel que (voir à nouveau la page sur laquelle le théorème initial est établi) :

Λ(δx) = | _[A]Φ(δx) - [P] | = (δs)²

Cette hypothèse de travail a pour conséquence immédiate que les éléments de longueur nuls coincide automatiquement avec les racines du polynôme Λ.

(δs)² = 0 ⇒ δx est solution de Λ

La théorie explorant les déformations des produits vectoriels et leurs décompositions a introduit un formalisme qui se traduit ici par :

(δs)²

= 

∑_a d_aa.(δx^a)² + ∑_a ∑_b (d_ab + d_ba).δx^a.δx^b + ∑_a d_a.δx^a - | P |

Ce qui amène la matrice [D] dont les entrées sont les d_ab, le vecteur d de composantes (d₁, d₂, d₃) et le scalaire | P | dans cette discussion.

Une confrontation avec les deux formalismes déjà connus conduit aux relations spécifiques de cette approche :

⁽³⁾[G] = ⁽³⁾[D]

∀ a = 1, 2, 3 : g_a0 + g_0a = 2.N_a = d_a 

g₀₀.(δx⁰)² = (N² - ∑_a N_a.N^a).(δx⁰)² = - | P |

Voici ce qu'elles portent comme information :

1) La métrique spatiale s'identifie à la matrice (3-3) des coefficients spatiaux de degré deux du polynôme Λ(δx).

2) Comme il est possible de le vérifier par ailleurs en consultant diverses sources bibliographiques, la deuxième relation relie directement une composante essentielle des effets du type Thirring-Lense (modification de la métrique autour d'une masse en rotation) avec les composantes spatiales de degré un du polynôme Λ(δx).

3) Le déterminant de la partie principale de la décomposition est proportionnel au carré de δx⁰.

Lorsque les coefficients du polynôme Λ(δx) ne dépendent pas des composantes de δx, la Hessienne de ce polynôme vaut donc ici :

[Hess_δxΛ(δx)] = [D] + [D]^t = [G] + [G]^t

C'est-à-dire : deux fois la partie symétrique de la partie spatiale de la métrique spatiotemporelle.

Si cette Hessienne n'est pas dégénérée, in extenso si :

| [G] + [G]^t |  ≠ 0

... alors le processus de reconstruction de la partie principale de la décomposition aboutit en section 04 au formalisme :

[P] = [A]*.{1/2.{⁽³⁾[G] + ⁽³⁾[G]^t} + (k/|A|)._[J]Φ(_Λs)}

Le polynôme a un vecteur singulier _Λs défini par :

| _Λs > = - {{[G] + [G]^t}^-1.| g_a0 + g_0a > 

Lorsque simultanément :

⁽³⁾[G] = Id₃ et [A] = [J]

L'approche menée ici aboutit à proposer :

[P] = Id₃ - k._[J]Φ(_Λs)

| _Λs > = - | ga0 + g0a > 

g₀₀.(δx⁰)² = - | P |

Tout dépend alors de la présence d'un effet Thirring-Lense ou non.

Au sein de cette théorie, le produit vectoriel classique associé avec l'élément de longueur riemannien dans une ambiance spatiale euclidienne se décompose comme suit :

| δx ∧ ... > = {Id₃ - k._[J]Φ(_Λs)}.| ... > + | z >

En négligeant l'effet Thirring-Lense, il se trouve que cette approche ne dit rien de particulier sinon que chaque résidu possible, z, d'une décomposition doit se scinder en deux vecteurs orthogonaux :

∀ ...

δx ∧ ...  =  ... + z 

⇓

... ⊥ (δx ∧ ...)

[01] Athanase Papadopoulos. Physics in Riemann's mathematical papers. 2017. <hal-01628080>.

[02] Einstein, A.: Die Grundlage der allgemeinen Relativitaetstheorie; Annalen der Physik, vierte Folge, Band 49, (1916), N 7.

[03] Lichnerowicz, A. : Théories relativistes de la gravitation et de l'électromagnétisme; collection d'ouvrage à l'usage des physiciens publiée sous la direction de G. Darmois et A. Lichnerowicz. © 1955 by Masson and Cie, éditeurs, 298 pages.

[04] Cartan, E. : Sur les équations de la gravitation d'Einstein ; extrait du journal de mathématiques, 1922, Fasc. numéro 2, 74 p. édité par Gauthier-Villars et Cie, libraires du bureau des longitudes de l'école Polytechnique, Paris (1922) ; [document .pdf] accessible sur Numdam.org.

[05] A.D.M., the Dynamics of General Relativity; arXiv: 0405109v1, 19 May 2004.

[06] 3 + 1 formalism and bases of numerical relativity - lecture notes; arXiv: gr-qc/0703035v1, 06 March 2007.

[07] Cartan, E.: The theory of spinors; ISBN 0-486-64070-1, translation of the « Leçons sur la théorie des spineurs (2 volumes) », Hermann, 1937 - 154 p. Dover Publications, Inc. New York © by Hermann, Paris (1966), 157 pages.

© Thierry PERIAT - page créée le 8 octobre 2026