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© Thierry PERIAT
Les deux sections précédentes ont permis de se faire une image un peu plus précise de ce à quoi les parties principales des décompositions de produits vectoriels déformés pourraient ressembler.
Pour autant, il reste des points d'ombre expliqués à la fin de la section 02. Pour parvenir à les faire disparaître, il semble pertinent de continuer l'analyse des coefficients des polynomiales associées avec ces décompositions ; notemment les coefficients de degré un parce que les informations qu'ils contiennent n'ont pas encore été analysées.
L'observation suffit à deviner la présence de la matrice déformante et de l'inverse de la partie principale recherchée ; ce qui suppose implicitement qu'elle soit inversible ! Quand il en est ainsi (|P| ≠ 0), un calcul assez similaire à celui qui a été réalisé pour connaitre l'inverse de la matrice déformante permet de découvrir le formalisme générique de l'inverse de la partie principale.
Muni de ce constat, il devient possible de fabriquer le produit matriciel :
[L] = |P|.[A].{[P]-1}t
Concrètement, il s'agit de :
Le calcul des entrées de la matrice produit [L] permet alors de réaliser que :
d1 = L12 + L33
d2 = L23 - L11
d3 = - L31 - L22
Ce résultat prouve clairement la dépendance entre un vecteur d* qui serait construit à partir des coefficients de degré un de la polynomiale associée à la décomposition d'un produit vectoriel déformé, la matrice déformante [A] et l'inverse de la partie principale de cette décomposition. Il ne nous dit pas encore quel est le formalisme exact de cette partie principale mais il va y conduire.
ILa plausibilité de la relation suivante a été montré lors de la section 02 (rappel) :
[P] = [A]*.[N]
En partant dans un premier temps de l'a priori que toutes les matrices impliquées dans cette discussion sont inversibles :
[N]
=
[A]*-1.[P]
=
{[A]-1.[J]}t.[P]
=
{[J]t.{[A]-1}t}.[P]
D'où :
[N]-1 = [P]-1.{{[A]-1}t}-1.{[J]t}-1
Puis, parce que l'inversion et la transposition commutent entre elles :
{[N]-1}t = [J]t.[A].{[P]-1}t
Il existe donc une formulation alternative de la matrice intermédiaire [L] puisque ces manipulations mènent à :
|P|.{[N]t}-1 = |P|.[J]t.[A].{[P]-1}t = [J]t.[L]
Ou, équivalemment, à :
[L] = |P|.[J].{[N]t}-1
Elle dépend de l'inverse de la transposée du noyau [N] et du générateur [J] du groupe cyclique C6.
Ce résultat intermédiaire permet de pressentir que le formalisme du noyau ne pourra pas être complètement indépendant des composantes du vecteur d*. C'est une information qui n'était juaqu'à présent pas apparue au cours des sections précédentes.
Une fois de plus il convient de revenir un peu en arrière sur un des résultats algébriques qui a été obtenu en section 02 ; à savoir :
1) sur l'équivalence matricielle qui y a été mise en évidence entre le noyau et la moitié de la Hessienne de la polynomiale associée à la décomposition d'un produit vectoriel déformé donné.
[N] ≡ ½.[HessaΛ(a)]
2) sur le fait que si les coefficients de cette polynomiale Λ(a) ne dépendent pas du projectile a, alors sa Hessienne est reliée à ses coefficients de degré deux par la relation :
[HessaΛ(a)] = [D] + [D]t
Comme la Hessienne de la polynomiale est ici (supposée) symétrique, il est en principe toujours possible de définir formellement le noyau de la manière suivante :
Ce formalisme n'est plus aussi simple que celui qui avait été proposé en section 02 parce qu'il ne se résume pas à la somme d'une matrice symétrique et d'une matrice antisymétrique. En revanche, il permet facilement de vérifier que :
[N] + [N]t
=
[D] + [D]t
=
[HessaΛ(a)]
=
½.[HessaΛ(a)] + ½.[HessaΛ(a)]t
Ce qui se traduit par :
[N] ≡ [D] ≡ ½.[HessaΛ(a)]
Arrivé à ce stade, il devient envisageable de calculer l'inverse de la transposée du noyau lorsque celui-ci est inversible (|N| ≠ 0).
Il reste alors à multiplier cette matrice par |P|.[J]5 pour obtenir la matrice [L] puis les coefficients de degré un de la polynomiale Λ(a) en fonction des trois inconnues n12, n23 et n13.
Il sera ensuite parfois possible de les exprimer en fonction des coefficients de degré un et deux de la polynomiale.
Ceci ayant été fait, cette exploration pourra proposer un formalisme générique pour le noyau [N], et par ricochet pour la partie principale [P].
Les calculs détaillés sont à découvrir dans la section 04 mais les grands principes de la démarche intrinséque sont d'ores et déjà posés.
Le brouillon de l'exposé des sections 01, 02 et 03 est visible en français sur le dépot du site extérieur vixra.org/abs/2405.0054
© Thierry PERIAT
Page mise à jour le 23 septembre 2026