Un site pour les amateurs de physique mathématique
© Thierry PERIAT
La notion de développement limité offre un deuxième regard sur le concept de décomposition des produits vectoriels déformés.
Cette affirmation est vérifiée tant pour les fonctions vectorielles de plusieurs variables scalaires que pour les fonctions scalaires.
Parmi les nombreuses recommandations formulables à l'attention des futurs chercheurs, il y a celle de prendre connaissance des travaux passés et actuels en lien avec son sujet d’étude.
C’est ce qu’illustre cette page à travers l’exemple de ce que j’ai nommé un peu par hasard « la question (E) » et qui désigne la décomposition des produits vectoriels déformés.
J’ai évoqué au début de cette présentation le lien abstrait avec la notion de torsion.
Ici, il est question de l’étude des variations d’une ou plusieurs fonctions de plusieurs variables.
Soit F(V = E(D, K) ; K) l’ensemble des fonctions d’un espace vectoriel (e.v.) V de dimension entière D bâti sur un corps commutatif K vers ce corps.
Soit u un quelconque élément de cet espace V. Il est coutume de rapporter cet e.v. à une base canonique Ω qui est en réalité un élément (e1, …, eα, …, eD) de V^D = V x ... x V (D fois) et de noter le vecteur u :
u = ∑ uα. eα
Soit f un quelconque élément de F(V ; K), il agit de telle sorte que :
u ∈ V → f(u) ∈ K
Lorsque le vecteur u décrit une partie de V, la fonction f fait parcourir une partie de K à son image. En général, cette image n’est pas constante et il y a nécessité à savoir en décrire mathématiquement les variations. C’est là que rentre en jeu la notion de développement limité des fonctions numériques qui dépendent de plusieurs variables. En effet, l’action de la fonction f peut aussi se décrire par :
u ≡ (…, uα, …) ∈ KD → f(…, uα, …) ∈ K
L’étude de ces variations est connue depuis fort longtemps, notamment grâce aux travaux de Taylor, de Mac Laurin et de Lagrange.
La formule de Taylor
Cette introduction n’étant pas destinée à exposer le sujet des développements limités à un ordre p quelconque de manière exhaustive, je me contenterai de présenter la formule de Taylor pour le cas des développements à l’ordre deux inclus (p = 2) en m’inspirant des références [01 ; § 7.3, p. 43], [02 ; chapitre 5, p. 41], [03 ; p. 143] :
f(u + δu)
=
f(u) + < ∇uf(u), δu > + ½. < δu, [Hessu f(u)]. | δu > + || δu ||2. ε(δu)
Un rappel concernant les Hessiennes
Je rappelle que la Hessienne apparaissant dans cette célèbre formule contient les informations sur les variations à l’ordre deux par rapport aux composantes du vecteur u de la fonction étudiée f(u).
Hessienne et table de Pythagore
Je note au passage que n’importe quelle Hessienne agit sur n’importe quel élément f(u) de K comme le fait une forme très particulière de table de Pythagore « carrée » bâtie autour de l’opération « composition des fonctions » et agissant sur l’opérateur gradient par rapport aux composantes du vecteur u de la fonction f(u) :
∀ f ∈ F(V ; K), ∀ u ∈ V : Hessu ≡ T2(o)(∇u, ∇u)
Reformulation du développement limité sous forme d'un produit scalaire euclidien
Mais là n’est pas le sujet de cette introduction. Je parle des variations de l’image de la fonction f. Quelques manipulations sur la formule de Taylor et la commutativité supposé du corps K permettent d’écrire :
df(u)
=
f(u + δu) - f(u)
=
< ∇uf(u), δu > + ½. < δu, [Hessu f(u)]. | δu > + || δu ||2. ε(δu)
=
< δu |. {| ∇uf(u) > + ½. {[Hessu f(u)]. | δu >} + || δu ||2. ε(δu)
La partie finale du développement limité à l’ordre deux inclus est parfois baptisé « zéro d’ordre trois ». Je la négligerai.
|| δu ||2. ε(δu) = 0(3) ∼ 0
De sorte qu’aux termes d’ordre trois près, les variations de la fonction f(u) peuvent se comprendre comme le résultat d’un produit scalaire euclidien entre la somme de vecteurs :
| ∇uf(u) > + ½. [Hessu f(u)]. | δu >
Et le vecteur δu.
Suggestion d'un lien formel avec la question des décompositions des produits tensoriels déformés
Le formalisme de la somme de deux vecteurs évoque la manière dont j’ai défini de manière générique les décompositions d’une famille de produits tensoriels déformés :
| ⊗A(a, b) > = [P]. | b > + | z > ∈ E*(D, K)
Cette analogie formelle suggère donc la question de l’existence d’une paire (A, a) permettant d’écrire la relation ci-dessous :
∃ ? (A, a) ∈ ⊞(D, K) x V :
| ⊗A(a, δu) > = ½. [Hessu f(u)]. | δu > + | ∇uf(u) >
Avec, pour assurer la jonction avec la question (E) :
[P] = ½. [Hessu f(u)]
b = δu
z = ∇uf(u)
Des explorations faites par ailleurs dans le cadre d'une résolution algébrique de la question des décompositions montrent que cette suggestion n'est pas totalement dénuée de sens. La démarche que je viens d'exposer contient les germes de la méthode extrinsèque et la méthode extrinsèque fournit des résultats génériques assez voisins des identifications ci-dessus.
[01] Fonctions de plusieurs variables ; Université de Rennes 1, L2, MIEE 2014-2015, 55 p.
[02] Ley, O. : Fonctions à plusieurs variables ; INSA, Analyse 3, STPI – 2ème année, 60 p.
[03] Encyclopédie Bordas : 50/51 mathématiques, Bordas-Éditeur 1972.