Sur la page cherchant à découvrir un contexte mathématique facilitant la résolution de la question des décompositions des produits tensoriels déformés, j’ai exploré les développements limités à l’ordre deux inclus d’une fonction numérique dépendante de plusieurs variables réelles et évoqué la possibilité formelle de les relier à la question posée ; voir la page précédente.
Dans cette nouvelle phase :
1) je suggère la possibilité de lier les développements limités au premier ordre d’une fonction vectorielle F(x) dépendante de plusieurs variables réelles avec la question (E) ;
2) j’étudie ensuite un problème simple se résumant à la question suivante :
« Le calcul des variations ordinaires d’ordre un de la fonction vectorielle F peut-il être remplacé par le calcul d’un produit vectoriel classique ? »
Plus précisément : existe-t-il un éléments q de E(3, R) permettant d’écrire :
dF(u) = q ∧ dx + 0(2) ?
Je tiens à rappeler ici un fait simple mais important qui justifie que cette question soit posée dans le cadre plus large de cette étude : les produits tensoriels déformés par des cubes antisymétriques sont des produits de Lie déformés et, en particulier au sein des espaces vectoriels de dimension trois, ce sont des produits vectoriels déformés.
Le développement limité au premier ordre d’une seule fonction numérique dépendante de plusieurs variables s’écrit :
df(u) = < ∇uf(u), du > + 0(2)
La limitation de l’ordre du développement (p = 1) n’empêche pas de généraliser les propos tenus sur la page considérant les développements limités à l’ordre deux inclus de ces fonctions.
Il convient pour cela de considérer l’ensemble F(Fm(V, K) ; Km) des fonctions de m fonctions numériques dépendantes de D variables réelles : F(V ; K) dans Km.
La discussion concerne alors m variations :
dfa(u) = < ∇ufa(u), du > + 0a(2)
a = 1, 2, …, m ∈ N
Elle permet d’introduire une fonction vectorielle F telle que :
F(u) ∈ E(m, K)
≡ (…, fa(u), …) ∈ Km
≡ | F(u) > = | fa(u) > ∈ MK(m, 1)
Et d’écrire :
| dF(u) > = T2(o)(∇u, F(u)). | du > + | 0(2) >
Attention, le vecteur du a D composantes et la démarche implique m fonctions fa (a = 1, …, m).
Par conséquent, en général, la table de Pythagore apparaissant là est un élément de l’ensemble M(m x D ; K) des matrices dont les entrées sont réelles et comptant m lignes mais D colonnes. D et m ne sont pas nécessairement égaux. Leur égalité éventuelle constitue un cas particulier intéressant.
Le formalisme de la variation de F(u) évoque également la manière dont j’ai défini génériquement les décompositions d’une famille de produits tensoriels déformés. Cette analogie formelle suggère donc elle aussi la question de l’existence d’une paire (A’, a’) permettant d’écrire la relation ci-dessous :
∃ ? (A’, a’) :
| dF(u) >
= | ⊗A’(a’, du) >
= T2(o)(∇uF(u)). | du > + | 0(2) >
Avec, pour assurer la jonction avec la question (E) :
[P] = T2(o)(∇u, F(u))
b = du
z = 0(2)
En restreignant les considérations précédentes au cas d'un espace vectoriel de dimension trois (D = 3) et aux ensembles de trois fonctions numériques de trois variables réelles (m = 3), il devient en principe possible de commencer à discuter en détail des décompositions des produits vectoriels.
C'est ce qui sera expliqué sur une autre page.