La maison d'Hades

 Je commencerai par rappeler quelques généralités permettant de bien cadrer la discussion qui débute sur cette page. La théorie de la Question (E) débute avec la démarche largement expliquée dans l'introduction au creuset.

Comme ceci a déjà été expliqué sur d'autres pages, le produit vectoriel déformé peut se comprendre comme un produit tensoriel déformé par un cube (3-3-3) dont les indices bas des noeuds sont dotés d'une propriété d'antisymétrie ; revoir la page traitant des cubes déformants.

A^χ_αβ + A^χ_βα = 0 ⇔ A ∈ ⊞^-(D, K)

En revanche, il n'a pas encore été expliqué sur la page définissant les divers types de produits déformés (tensoriels, alternés et vectoriels) si les produits vectoriels déformés pouvaient parfois être des produits de Lie déformés. Je vais donc explorer cet aspect-là.

Dans cette théorie, un produit vectoriel déformé est par définition la moitié d'un produit tensoriel déformé alterné bâti sur un cube dont les indices bas vérifient la propriété dite d'antisymétrie.

Il devient effectivement un produit de Lie déformé lorsqu'il dote l'espace d'une structure d'algébre de Lie ; c'est-à-dire lorsque les trois propriétés suivantes sont vérifiées :

∀ a, b, c ∈ E(D, K)

∀ A  ∈ ⊞^-(D, K)

[a, a]_A = 0 

[a, b]_A + [b, a]_A = 0

J_[...,...]{a, b, c} 

=

[a, [b, c]_A]_A + [b, [c, a]_A]_A + [c, [a, b]_A]_A

=

 0

La littérature scientifique parle de la troisième condition en disant que le jacobiateur, pour le crochet de Lie de n'importe quelle partie de E(D, K) dont le cardinal vaut trois, est nul.

Comme un produit vectoriel déformé vaut la moitié d'un produit tensoriel déformé alterné bâti sur un cube antisymétrique, le facteur un demi ne joue aucun rôle structurel et la définition d'un produit de Lie déformé peut se réécrire avec le symbolisme des produits tensoriels déformés alternés.

∀ a, b, c ∈ E(D, K)

∀ A  ∈ ⊞^-(D, K)

∧_A(a, a) = 0 

∧_A(a, b) + ∧_A(b, a) = 0

∧_A(a, ∧_A(b, c)) + ∧_A(b, ∧_A(c, a)) + ∧_A(c, ∧_A(a, b)) = 0

Par ailleurs, toujours par définition :

 ∧_A(a, b)

=

 2. ∑_χ {∑_{α < β} ∑_β A^χ_αβ. (a^α. b^β - a^β. b^α)}.e_χ 

Il en résulte sans difficulté que la première propriété est toujours vérifiée. Il en est de même concernant la deuxième aussi longtemps que K est un ensemble muni d'un produit commutatif :

 ∧_A(a, b) + ∧_A(b, a)

=

 2. ∑_χ {∑_{α < β} ∑_β A^χ_αβ. (a^α. b^β - a^β. b^α)

+ (b^α. a^β - b^β. a^α)}.e_χ 

=

0

La caractérisation de la troisième propriété demande beaucoup plus de travail et réserve quelques surprises qui s'avèreront intéressantes.

Les calculs détaillés de cette section ne sont pas accessibles sur les téléphones portables.

Leur visualisation exige l'activation du widget.

Les calculs exposés in extenso ci-dessous ne concernent que les espaces de dimension trois (D = 3).

Les cubes déformant A sont donc représentés pas des éléments quelconques [A] dans M(3, K).

Soit les trois double-produits :

Le Jacobiateur vaut :

Le formalisme du Jacobiateur pour le cas où D = 3 démontre d'emblée l'existence de deux sous-ensembles particuliers de situations qui en permettent l'annulation.

Sous-ensemble 1 : Il contient les situations pour lesquelles, indépendemment des arguments a, b et c, les entrées des matrices déformantes respectent la condition :

∀ a, b, c ∈ E(3, K)

A ∈ ⊞^-(3, K)

∀ i = 1, 2, 3 :

(Aⁱ₁₂. A²₂₃ + Aⁱ₁₂. A¹₁₃ + Aⁱ₁₃. A³₂₃) 

=

 (Aⁱ₂₃. A³₁₃ + Aⁱ₂₃. A²₁₂ + Aⁱ₁₃. A¹₁₂) 

Sous-ensemble 2 : Il contient les situations pour lesquelles, indépendemment des matrices déformantes, chaque triplé {a, b, c} respecte les conditions :

< a, b ∧ c > = 0_K

< b, c ∧ a > = 0_K

< c, a ∧ b > = 0_K

Chacun de ces deux sous-ensembles particulier fait l'objet d'un développement détaillé à part sur une autre page.

Dans les espaces vectoriels de dimension trois (D = 3) bâtis sur des corps commutatifs (par exemple les nombres réels et les nombres complexes), il est possible de déformer les produits vectoriels classiques ; voir la page précédente.

Ces produits vectoriels déformés deviennent des produits de Lie déformés sous certaines conditions qui peuvent se répartir dans au moins deux sous-ensembles de situations particulières (voir ci-dessus). 

© Thierry PERIAT 

Page créée le 4 octobre

et mise à jour

le 7 octobre 2026