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© Thierry PERIAT
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Les produits vectoriels déformés
Les nombres complexes
Résolution des polynômes de degré 3
Le théorème initial
Les coefficients du discriminant
Reconstruction 01 / 02 / 03 / 04 / 05
Élément de longueur riemannien
Introduction aux méthodes extrinsèques
L'équation de Klein Gordon
Confrontation des méthodes
Le degré maximum (deux : voir le théorème initial) et le formalisme générique du discriminant caractérisant les décompositions des produits vectoriels étant connus, il reste à découvrir la (ou les) paire(s) ([P], z) en fonction des données de la question (E), à savoir la paire ([A], a) puisque le projectile b ne joue aucun rôle dans l'énoncé.
« Mais comment s'y prendre ? »
C'est la question !
Les coefficients de degré deux du discriminant du système associé à une décomposition d'un produit vectoriel déformé sont en principe au nombre de neuf et ils peuvent a priori se ranger au sein d'un élément de M(3, C).
[D] = [dmn] ∈ M(3, C)
Quelques calculs, un peu fastidieux, demandant beaucoup de concentration et que je vous encourage à vérifier, mènent aux trois relations :
Le formalisme de ces premières relations laisse clairement apercevoir un lien de dépendance entre la partie principale [P] de la décomposition, les coefficients de degré deux du discriminant associé à la décomposition et (intutivement) l'inverse de la matrice déformante [A]. Ce qui introduit dès cet instant un aspect de la discussion auquel il n'avait pas encore vraiment été porté grande attention.
Autrement dit, parmi tous les cubes déformants A qui sont des éléments de ⊞-(3, C), seuls ceux dont la réduction fournit un élément inversible de M(3, C) peuvent être admis dans cette discussion ; ce qui se traduit par la condition nécessaire :
A → [A] ∈ M(3, C) : |A| ≠ 0
Les calculs livrent finalement de façon générale :
∀ m, n = 1, 2, 3
Les propos introductifs sur les produits vectoriels déformés ont introduit le produit matriciel [A]* = [A]t.[J], alias la matrice déformante effective.
Il semble maintenant légitime de se demander si elle est impliquée dans la relation entre les matrices [D] et [P] ; et si oui : comment ?
Les calculs amènent aux relations :
Ce qui, à titre d'exemple se précise avec :
Il est ici évident que : d = - |P| ; le dixième coefficient du discriminant Λ(a) vaut moins une fois le déterminant de la partie principale [P] dont le formalisme générique est recherché (si elle en a un).
A supposer que les coefficients du discriminant ne dépendent pas du projectile a, alors il devient possible de constater qu'une première dérivation partielle mène à :
Ce qui permet d'aboutir après une seconde dérivation partielle à :
[HessaΛ(a)] = [D] + [D]t
Et par ricochet :
| ∂aΛ(a) > = [HessaΛ(a)].| a > + | d >
Page mise à jour le 13 septembre 2026