La maison d'Hades

A noter avant de poursuivre 

1) Le symbole « Tr » symbolise par la suite la trace d'une matrice.

2) Ce foncteur ne doit pas être confondu avec le foncteur sommation « ⊕ » présenté sur une autre page de ce site : voir le calcul alternatif du second invariant d'un champ électromagnétique.

Un calcul agébrique mené à partir des expressions des coefficients dans la diagonale de la matrice [D] permet de constater que :

Pour prouver cette affirmation, il convient d'abord de calculer l'inverse de la matrice déformante (J'ai déjà indiqué sur une page précédente qu'il fallait partir du principe que cette démonstration n'a de sens que si cette matrice n'était pas dégénérée ; autrement dit ici : |A| ≠ 0).

Quelques manipulations mènent à l'expression recherchée (voir le document .pdf) :

Par ailleurs et d'une manière générale, le calcul des coefficients de degré deux fait intervenir un ensemble de (a priori) neuf matrices [_mnT].

Comme il se trouve en particulier que les matrices [_mmT] pour m = 1, 2, 3 peuvent s'exprimer en fonction des entrées de l'inverse de la matrice déformante de la manière suivante :

Il suit :

Et donc :

{[₁₁T] + [₂₂T] + [₃₃T]}^t = [A]^-1.[J]

Il faut ensuite se lancer dans une comparaison visuelle avec les relations définissant les coefficients dans la diagonale de [D] (rappel) ...

... et constater que, comme proposé plus haut :

Il en découle alors :

 Tr{[D]} = Tr{{|A|.{[A]^-1.[J]}^t}.[P]}

Il existe donc une égalité entre les traces de deux matrices. La première est celle contenant les coefficients de degré deux du polynôme associé avec une décomposition d'un produit vectoriel déformé. La seconde est un produit matriciel dont le second argument est la partie principale de la décomposition en question.

L'égalité des traces ne signe malheureusement pas celle des matrices. Quelques calculs supplémentaires sont encore nécessaires pour parvenir à découvrir le formalisme générique de la partie principale [P].

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le 13 septembre 2026