La maison d'Hades

Soit (E, +) un ensemble muni d'une opération additive interne. Soit E^D l'ensemble des D-uplés dont les arguments sont des éléments ordonnés de (E, +). Soit e = (e₀, ..., e_{D - 1}) un quelconque élément de E^D. Le foncteur somme agit sur celui-ci de telle sorte que :

e ∈ E^D→ e^⊕ = ∑_α e_α ∈ E

Soit (E, +) un ensemble muni d'une opération additive interne. Soit M(D, E) l'ensemble des tableaux carrés ayant D lignes et D colonnes dont les entrées sont des éléments de (E, +). Soit [M] un quelconque élément de M(D, E). Le foncteur somme agit sur celui-ci de telle sorte que :

[M] = [M_αβ] ∈ M(D, E) → [M]^⊕ = ∑_α ∑_β M_αβ ∈ E

Soit (E, +) un ensemble muni d'une opération additive interne. Soit ⊞(D, E) l'ensemble des cubes constitués par la superposition de D éléments de M(D, E). Soit C un quelconque élément de ⊞(D, E). Le foncteur somme agit sur celui-ci de telle sorte que :

C = [c^χ_αβ] ∈ ⊞(D, E) → C^⊕ = ∑_α ∑_β ∑_χ c^χ_αβ ∈ E

Soit (E, .) un ensemble muni d'une opération multiplicative interne. Soit E^D l'ensemble des D-uplés dont les arguments sont des éléments ordonnés de (E, +). Soit e = (e₀, ..., e_{D - 1}) et f = (f₀, ..., f_{D - 1}) une quelconque paire d'éléments de E^D. Le foncteur glissement par la gauche de e sur f  agit de telle sorte que :

(e, f) ∈ E^D × E^D

↓

 e • f = (e₀.f₀, ..., e_{D - 1}. f_{D - 1}) ∈ E^D

Le glissement est une opération interne sur E^D.

Le principe expliqué au travers de cet exemple peut facilement être généralisé aux éléments d’un espace vectoriel, d’un ensemble de matrices ou d’un ensemble de cubes. 

Dans les régions vides de l’univers rapportées à une géométrie de Minkowski, il est possible de calculer le second invariant d’un champ électromagnétique par glissement de sa représentation deux fois covariante sur sa représentation deux fois contra-variante puis sommation du résultat ainsi obtenu.

Le formalisme de la démonstration m'oblige à faire usage du codage et vous ne pourrez donc la découvrir qu'en activant le widget.

Je souhaite calculer :

A) Dans une métrique de Minkowski avec la signature (+ - - -) il y a une équivalence entre le calcul tensoriel classique et le calcul par « glissement – sommation » opéré ci-dessus pour ce qui concerne le second invariant d'un champ électromagnétique.

B) Le calcul par « glissement – sommation » est extraordinairement plus économe que le calcul tensoriel réalisé sur la page « calcul classique du second invariant d’un champ électromagnétique ». Il ne demande en effet que seize multiplications simples et une addition, soit 17 opérations au total.

C) Potentiellement important pour de futurs développements, ce résultat reste valide lorsque les composantes du tenseur champ électromagnétique sont des quaternions.

Cette section se consacre au calcul d'une expression concernant des matrices dont le formalisme apparaît à diverses occasions dans la théorie de l'électromagnétisme. Je veux parler de l'ensemble M-(4, C) des éléments antisymétriques de M(4, C).

Il s'agit de calculer de manière générique l’expression :

∀ [M], [N] ∈ M-(4, C) : {[M].[N]}^⊕ = ?

La longueur de la démonstration me pousse une fois encore à faire appel au codage. L'activation du widget est donc nécessaire pour la découvrir.

Il s'agit ici de l'application de ces calculs généraux au cas particulier défini par : [M] = [F(2,0) et [N] = [F(0, 2)].

Cette excursion mathématique montre qu'il existe des circonstances physiques rendant cette expression équivalente au second invariant du champ électromagnétique qu’on a sous la main.

Précisément, lorsque la relation ci-dessous se vérifie :

½. {(E^⊕)^2 + (H^⊕)^2} = < H, H >

... alors la somme des entrées du produit matriciel entre la version deux fois covariante et la version deux fois contra-variante des représentations matricielles d'un champ électromagnétique vaut moins une fois la valeur du second invariant de ce champ lorsque celui-ci est considéré dans une région vide.

Ψ = Inv2(E, H)

Ψ + {[F(2, 0)]. [F(0,2)]}^⊕ = 0

Il est évident que cette curiosité du calcul algébrique n’est pas très économe en nombre d’opérations à effectuer ; voir la méthode de calcul précédente pour comparaison. Pour autant, elle reste correcte chaque fois que le champ a des composantes dans un corps commutatif. 

Page mise en ligne le 22 août 2026