La maison d'Hades

Sur la page précédente je me suis demandé s’il était possible d’envisager des quaternions à composantes complexes ?

L’analyse logique et des réponses pouvant être apportées à cette question a montré que de tels quaternions pouvaient parfois être des triplés de nombres complexes.

C’est la raison pour laquelle j'envisage de restreindre ici la discussion à des quaternions purement imaginaires ayant trois composantes dans C. Avec la convention adoptée jusque-là, ils s’écrivent :

Q = (0, < h, q >) ∈ ImH(C)       q ∈ E(3, C)        h : (i, j, k) ∈ Anticom(3, H)

1) Le carré de l’un quelconque des quaternions dans ImH(C) vaut moins une fois le produit scalaire du vecteur à composantes complexes q par lui-même :

∀ Q : Q² = (- < q, q >, < h, 0 >) ∈ C

Ce carré n’est donc nul que si le vecteur q est isotropique (définition : voir E. Cartan).

2) Le produit de deux quaternions de ce type vaut :

∀ Q, Q’ : Q. Q’ = (- < q, q’ >, < h, q ∧ q’ >) ∈ H

Les propriétés intrinsèques des éléments d'ImH(C) permettent d'établir des liens avec le concept d'anticommutativité expliqué par ailleurs ; en effet:

∀ Q, Q’ : 

{Q, Q’} = Q. Q’ + Q’. Q = 2. (- < q, q’ >, < h, 0 >) ∈ C

... et deux quaternions de ce type anti-commutent si leurs parties vectorielles sont orthogonales :

q ⊥ q’ ⇒ < q, q’ > = 0(C) ⇒ {Q, Q’} = 0 ⇒ Q, Q’ ∈ AnticomH 

Par ailleurs le crochet liant deux éléments d'ImH(C) est encore un élément d'ImH(C) puisque :

[Q, Q’] = Q. Q’ - Q’. Q = 2. (0, < h, q ∧ q’ >) ∈ ImH(C)

Ce constat génère une question :

 « Combien d’éléments y-a-t-il au maximum dans un ensemble de quaternions de ce type anti-commutant entre eux deux à deux ? »

Si leurs composantes étaient des réels, la réponse serait simple : trois. Les triades de vecteurs orthogonaux deux à deux font l’affaire.

{q, q’, q’’ ∈ E(3, R) ; q ⊥ q’, q’ ⊥ q’’, q’’ ⊥ q} ⇒ Q, Q’, Q’’ ∈ AnticomH

Il n’est pas a priori certain que cette réponse reste vraie lorsque ces quaternions ont des composantes complexes. C’est donc un sujet important à éclaircir.

Pour l’heure, ceci veut au minimum dire qu’il est plausible d’envisager des triplés {Q, Q’, Q’’} ∈ Anticom(3, H) lorsque q, q’, q’’ ∈ E(3, R). Ces considérations permettent donc d’envisager des champs électriques et magnétiques ayant trois composantes quaternioniques telles que :

a = 1, 2, 3: 

Q_a = (0, < h, q_a >) ∈ ImH(R)

q_a ∈ E(3, R)

q₁ ⊥ q₂, q₂ ⊥ q₃, q₃ ⊥ q₁

h : (i, j, k) ∈ Anticom(3, H)

Pour ces champs-là en particulier :

∑_a (Q_a)² = - ∑_a || q_a ||² ∈ R

Et :

Q₁. Q₂ + Q₂. Q₃ + Q₃. Q₁ = (0, < h, q₁ ∧ q₂ + q₂ ∧ q₃ + q₃ ∧ q₁ >) = (0, < h, q>) ∈ Im(H)

Parce que les trois vecteurs forment ici un trièdre orthogonal :

q = ∑_a q^a. q_a ≠ 0 

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