Da es a priori eine Unendlichkeit an Möglichkeiten gibt, klassische Tensorprodukte über eine überabzählbare Menge von Würfeln zu deformieren, und eine unbestimmte Anzahl an Wegen existiert, ein gegebenes deformiertes Tensorprodukt zu zerlegen, erscheint die Entdeckung von Methoden, die solche Zerlegungen liefern, auf den ersten Blick als eine besonders schwierige Herausforderung.
Um in dieses Vorgehen etwas Ordnung zu bringen, schlage ich eine Klassifizierung der Methoden vor, die entwickelt werden könnten:
Der Begriff «intrinsisch» bezeichnet hier jedes Vorgehen, das das System (S) betrachtet, welches bereits im Laufe der Einleitung der Diskussion über die "trivialen Zerlegungen" (Rückblick) behandelt wurde:
| ⊗A(a, b) > = [P]. | b > + | z > ∈ E*(D, K)
Die klassische Aufgabenstellung
Gegeben sei eine Menge von D Linearkombinationen, die als Funktion der D Komponenten des Ziels geschrieben sind. Diese Menge bildet ein System (S), sodass:
[M]. |b> = |y>
Das klassische Problem betrachtet das Paar ([M], y) aus M(D, K) x E(D, K) als bekannt und versucht, eine Unbekannte b in E(D, K) zu ermitteln:
b = ?
Die formale Analogie zwischen einer Zerlegung und einem klassischen System springt sofort ins Auge. Da es immer mindestens eine triviale Zerlegung gibt, lässt sich eine beliebige Zerlegung wie folgt schreiben:
{AΦ(a) - [P]}. | b > = | z >
Durch das Stellen von:
[M] = AΦ(a) - [P] y = z
Es ist möglich, die Illusion zu haben, vor einer klassischen Aufgabenstellung zu stehen. Dieser Anschein trügt.
Die sogenannte (E)-Frage
Im Rahmen einer Diskussion über die Zerlegungen eines deformierten Tensorprodukts geht es nicht darum, die Komponenten des Ziels zu entdecken.
Die bekannten Daten sind: der deformierende Würfel A, das Projektil a und das Ziel b.
Die Unbekannten sind der Hauptteil [P] und der Restteil z der Zerlegung, deren Existenz vorausgesetzt wird.
Daher gilt es hier, das System (S) mit einem anderen Blickwinkel zu betrachten, den die Farben zu materialisieren versuchen:
| ⊗A(a, b) > = [P]. | b > + | z > ∈ E*(D, K)
Aufgrund der systematischen Existenz von mindestens einer trivialen Zerlegung kann das System (S) immer wie folgt umgeschrieben werden:
{AΦ(a) - [P]}. | b > = | z >
Die formale Ähnlichkeit mit einem klassischen System erlaubt nur eines, nämlich die Bedeutung des Polynoms zu verstehen. :
Λ(a) = |AΦ(a) - [P]|
Ich präsentiere eine erste Illustration der Berechnung dieser Größe während der Darlegung der Lösung der Frage (E) in zweidimensionalen Räumen.
Definition – Intrinsische Methode zur Zerlegung eines deformierten Tensorprodukts.
Jede mathematische Methode, die in der Lage ist, die Paare ([P], z) allein mit Hilfe der bekannten Daten A, a und b zu entdecken.
Definition – Extrinsische Methode zur Zerlegung eines deformierten Tensorprodukts.
Jede mathematische Methode, die in der Lage ist, die Paare ([P], z) allein mit Hilfe der bekannten Daten A, a und b sowie eines zusätzlichen externen Datums zu entdecken, beispielsweise einer Bilinearform, die durch ein Element [B] aus M(D, K) dargestellt wird.
Definition
Methode zur Zerlegung eines deformierten Tensorprodukts durch Erhöhung auf eine höhere Dimension
oder durch Verringerung auf eine niedrigere Dimension.
Wenn die (E)-Frage eine bekannte Lösung in der Dimension D besitzt, ist hier jede Methode gemeint, die es ermöglicht, daraus eine Lösung in einem Unterraum der Dimension D - 1 oder in einem Raum der Dimension D + 1 abzuleiten, der den Raum umfasst, in dem die bekannte Lösung existiert.
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11. September aktualisiert.