Da wir nun über mindestens eine Möglichkeit verfügen, Vektorprodukte zu verzerren/deformieren (siehe vorherige Seite), erfordert die Verallgemeinerung der im Heft "Das Vakuum nach J.C. Maxwell" enthaltenen Arbeit die Fähigkeit, diese verzerrten Vektorprodukte und ihre dualen Abbilder auf nicht-triviale Weise zu zerlegen.
Das Vorgehen erfordert die Präzisierung zweier Konzepte: (i) das der Zerlegung des dualen Abbilds und (ii) das der Trivialität einer Zerlegung.
Es gibt gewissermaßen einen doppelten Isomorphismus von Vektorräumen zwischen E(3, R) und seinem Dualraum E*(3, R) sowie zwischen diesem und R3 = R x R x R (kartesisches Produkt).
Der von Descartes stammende Ansatz zur Positionsbestimmung im dreidimensionalen Raum erklärt diesen Umstand teilweise.
Da der affine Raum auf einen punktförmigen Ursprung O bezogen ist, definiert jedes Punktepaar (O, P) einen Vektor OP, dem ein Triplett reeller Zahlen (x, y, z) entspricht.
Die Entwicklung der Quantenphysik hat eine symbolische Matrixnotation eingeführt, um Vektoren von E(3, R) in R3 darzustellen. Diese Darstellungen sind entweder Elemente von M(1, 3) oder Elemente von M(3, 1); das heißt beziehungsweise: Zeilendarstellungen, notiert als . Dies ist die «Zeilen-Spalten»-Konvention (oder Bra-Ket-Notation in der angelsächsischen Literatur). Im Folgenden verwende ich die Spaltendarstellungen und die übliche Matrixmultiplikationsregel.
Die Kurse über Drehungen reichen aus, um zu verstehen, dass jede Spaltendarstellung eines gegebenen Vektors auf sehr viele Arten gemäß dem folgenden Schema zerlegt werden kann:
|OP> = [R].|OQ> + |Q'P>
Dies lässt sich wörtlich so übersetzen, dass ein Vektor OQ eine Drehung an Ort und Stelle erfahren kann (Synonym: der Endpunkt O ist fix), wobei die Matrix [R] aus M(3, R) alle Informationen enthält. Das Ergebnis ist, dass der Vektor OQ zu einem Vektor OQ' wird. Indem man ihn eine Verschiebung Q'P durchlaufen lässt, ist das Endergebnis offensichtlich ein Vektor OP.
Die Theorie, die mich beschäftigt und die ich als "Theorie der Frage (E)" bezeichnet habe, sucht nach Antworten auf eine Reihe von Fragestellungen.
Ich gehe davon aus, dass die Eigenschaften einer Torsion bekannt sind. Es kommt auf dasselbe hinaus zu sagen, dass das Paar ([R], |Q'P>) zu Beginn gegeben ist. Die erste Frage lautet wie folgt:
"Kann der Vektor OP, der durch die auf OQ wirkende Torsion erhalten wird, das Ergebnis des Produkts eines unbekannten Vektors OX mit dem Vektor OQ sein:
|OP> = [R].|OQ> + |Q'P> = |OX ∧ OQ> ?"
In dieser Aussage ist alles bekannt, außer dem Vektor OX, den es zu bestimmen gilt. Es geht darum zu wissen, ob eine Torsion einem klassischen Vektorprodukt gleichwertig sein kann.
Eine zweite Fragestellung, die das Gegenteil der vorherigen darstellt, ist die folgende. Das Vektorpaar (OX, OQ) ist bekannt und sein Vektorprodukt ist a priori das Ergebnis einer Torsion. Die Frage lautet nun: "Kann ich die Eigenschaften dieser Torsion bestimmen?" In dieser Formulierung besteht das Problem darin, das Paar ([R], |Q'P>) zu entdecken.
Eine dritte Fragestellung erweitert die erste und lautet: "Kann der durch die auf OQ wirkende Torsion erhaltene Vektor OP das Ergebnis eines Produkts des unbekannten Vektors OX mit dem durch eine Matrix [A] deformierten Vektor OQ sein:
|OP> = [R].|OQ> + |Q'P> = |[OX ∧ OQ][A]> ?"
Es geht also darum, das Paar ([A], OX) zu bestimmen.
Die vierte Fragestellung kehrt die Logik der dritten um. Das Vektorpaar (OX, OQ) und die Deformationsmatrix [A] sind bekannt. Ich berechne das deformierte Vektorprodukt [OX, OQ][A].
Die Frage lautet nun: "Kann ich Zerlegungen ([P], z) der Art finden:
|[OX, OQ][A]> = [P].|OQ> + |z> ?"
Der Begriff der Zerlegung deformierter Vektorprodukte ist. meiner Meinung nach, somit klar definiert.
Dies sind einige der Fragen, auf die ich Antworten geben möchte, um die Schlussfolgerungen der im ersten Kapitel des Heftes dargelegten Arbeit zu erweitern:
« Das Vakuum nach J.C. Maxwell ».
Die folgenden Seiten werden daher das oben genannte Konzept weiterentwickeln.
Darüber hinaus lässt sich die Frage nach der Existenz von Zerlegungen im Bereich der reinen Mathematik auf deformierte Tensorprodukte für Vektorräume mit einer beliebigen ganzzahligen Dimension D größer oder gleich zwei verallgemeinern.
© Thierry PERIAT, aktualisiert am 11. September 2026.