Zerlegung:
Ein durch einen Würfel A deformiertes Tensorprodukt ⊗A, das auf einem über einem kommutativen Körper K der Dimension D aufgebauten Vektorraum definiert ist und auf ein Paar (a, b) aus E(D, K) x E(D, K) wirkt, ist dann zerlegt, wenn ein Paar ([P], z) aus M(D, K) x E(D, K) existiert, sodass es möglich ist, im dualen Raum E*(D, K) zu schreiben:
| ⊗A(a, b) > = [P]. | b > + | z > ∈ E*(D, K)
Im Folgenden ist K oft der Körper der reellen Zahlen R oder der komplexen Zahlen C.
Triviale Zerlegung: Eine Zerlegung wird als "trivial" bezeichnet, wenn ihr vektorieller Teil null ist: z = 0.
Nicht-triviale Zerlegung: Eine Zerlegung wird als "nicht-trivial" bezeichnet, wenn ihr vektorieller Teil nicht null ist: z ≠ 0.
Inspiriert durch die Terminologie, die üblicherweise bei der Division von Zahlen verwendet wird, gilt die folgende Semantik für die Zerlegungen deformierter Tensorprodukte.
Projektil: Dies ist das erste Argument des Paares (a, b), auf das das deformierte Tensorprodukt wirkt; in diesem Fall der Vektor a.
Ziel: Dies ist das zweite Argument des Paares (a, b), auf das das deformierte Tensorprodukt wirkt; in diesem Fall der Vektor b.
Hauptteil einer Zerlegung: Dies ist der Matrixanteil der Zerlegung; in diesem Fall die Matrix [P].
Restteil einer Zerlegung: Dies ist der Vektoranteil der Zerlegung; in diesem Fall der Vektor z.
Es ist nicht schwer zu zeigen, dass es immer mindestens eine gibt, die einfachste von allen:
| ⊗A(a, b) > = AΦ(a). | b > + | 0 > ∈ E*(D, K)
Mit :
AΦ(a) = [Aχαβ. aα] ∈ M(D, K)
Durch eine relativ einfache Argumentation lässt sich die kontraintuitive Nicht-Eindeutigkeit trivialer Zerlegungen aufzeigen.
Nehmen wir a priori an, dass es mindestens eine weitere triviale Zerlegung gibt, die als [P] für ein gegebenes deformiertes Tensorprodukt bezeichnet wird, dann ist es möglich zu schreiben:
:
| ⊗A(a, b) >
= [P]. | b > + | 0 >
= {[P] - AΦ(a)}. | b > + AΦ(a). | b > + | 0 >
Aber:
| ⊗A(a, b) > = AΦ(a). | b > + | 0 >
Die andere triviale Zerlegung, deren Existenz vorausgesetzt wird, muss notwendigerweise die folgende Bedingung erfüllen:
{[P] - AΦ(a)}. | b > = | 0 >
Die Möglichkeit eines Nullziels (b = 0) muss im Rahmen der Untersuchung der Zerlegungen eines deformierten Null-Tensorprodukts neu positioniert werden. Da sie keine Präzisierung des Formalismus der Matrix [T] erlaubt, aber dessen Existenz nicht ausschließt, gibt es eine Unendlichkeit trivialer Zerlegungen.
In allen anderen Fällen (das Ziel ist nicht null) gibt es eine gewisse Anzahl trivialer Zerlegungen, die lediglich der folgenden Einschränkung unterliegen:
Λ(a) = |[P] - AΦ(a)| = 0K
Es läuft auf dasselbe hinaus zu sagen, dass "die Diskriminante des Systems (S) der D Linearkombinationen, ausgedrückt in Abhängigkeit von den D Komponenten des Ziels b :
|⊗A(a, b) > - [P]. | b > = | z >
… null sein muß".
Oder, äquivalent dazu, dass dieses System entartet ist.
Umgekehrt gilt: Wenn das System (S) existiert und entartet ist, dann ist seine Diskriminante gleich null.