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© Thierry PERIAT
Aus der auf dieser Website eingenommenen Perspektive ist dies ein Höhepunkt der Diskussion. Der Titel spricht von einem verzerrten Tensorprodukt und nicht von einem verzerrten Vektorprodukt. Daher könnten Sie denken, dass ich mich vom ursprünglichen Thema entfernt habe. Das ist nicht der Fall, und ich werde erklären, warum.
Ein durch einen antisymmetrischen Würfel verzerrend modifiziertes Tensorprodukt ist ein verzerrend modifiziertes Vektorprodukt.
Definitionsgemäss entspricht das durch einen Würfel A bei beliebigen Startvektoren a und b verzerrte Tensorprodukt in einer kanonischen Basis Ω eines dreidimensionalen Vektorraums über dem kommutativen Körper R der reellen Zahlen:
∀ A ∈ ⊞(3, K), ∀ (a, b) ∈ E2(3, R)
↓
⊕A(a, b) = ∑χ ∑αβ Aχαβ. aα. bβ. eχ
Sodass, falls insbesondere der verzerrende Würfel antisymmetrisch ist (implizit bezüglich seiner unteren Indizes):
∀ A ∈ ⊞-(3, K) : Aχαβ + Aχβα = 0K
Für χ = 1, 2, 3 :
Indem man an dieser Stelle die folgenden quadratischen (3-3)-Matrizen [A] und [J] einfügt:
Ich komme zu der äußerst interessanten Beziehung:
∀ A ∈ ⊞-(3, R) :
| ⊗A(a, b) > = {[A]t .[J]}.| a ∧ b > = | [a, b][A] >
... was mindestens Folgendes zeigt:
Ein durch einen antisymmetrischen Würfel verzerrendes Tensorprodukt ist eine Verzerrung eines klassischen Vektorprodukts, wenn die Diskussion in einem dreidimensionalen Vektorraum stattfindet, der auf dem kommutativen Körper der reellen Zahlen aufgebaut ist.
Die Verzerrung dieses klassischen Vektorprodukts hängt von den Matrizen [A] und [J] ab, die beide einige Erklärungen verdienen.
Das Matrixprodukt [A]t.[J] = [A]* wird als "effektive Verzerrungsmatrix" des klassischen Vektorprodukts bezeichnet.
Der Formalismus der Beziehung, die das durch einen antisymmetrischen Würfel verzerrte Tensorprodukt und das durch die Reduktion dieses Würfels verzerrte Vektorprodukt verbindet, legt nahe, dass die im Anschluss an die in der Broschüre "Das Vakuum von J.C. Maxwell" festgehaltenen Ergebnisse geführte Diskussion langfristig auf die Zerlegungen der klassischen Vektorprodukte beschränkt und konzentriert werden kann.
Ein Element A von ⊞(3. C) ist ein Würfel (3-3-3) und enthält 27 Knoten. Es kann immer als Überlagerung von drei Elementen von M(3, C) in einer der drei Hauptrichtungen eines dreidimensionalen physikalischen Raumes aufgefasst werden.
Ein Element von ⊞-(3. C) ist die Überlagerung von drei antisymmetrischen Elementen mit Nullhauptdiagonale von M(3, C). Jedes dieser Elemente enthält, wenn man vom Minuszeichen absieht, schließlich höchstens drei verschiedene Einträge in C.
Es wird somit vorstellbar, dass sich ein Element von ⊞-(3. C) durch ein Element von M(3, C) darstellen lässt, dessen neun Einträge zufällig aus den Einträgen der Matrizen ausgewählt werden, die den antisymmetrischen Würfel bilden.
Die Antisymmetrie bei den unteren Indizes eines Würfels (3-3-3) ermöglicht es, diesen Würfel auf verschiedene Weise auf eine Matrix (3-3) zu reduzieren.
Die zuvor eingeführte Matrix [J] erzeugt die zyklische Gruppe C6; dies zeigt sich konkret durch:
[J]2 = - [J]t
[J]3 = - Id3
[J]4 = - [J]
[J]5 = [J]t
[J]6 = Id3
Diese rein mathematische Tatsache hat einige Konsequenzen, auf die ich später noch zurückkommen werde.
Die soeben hergestellte Beziehung (zur Erinnerung):
∀ A ∈ ⊞-(3, R) :
| ⊗A(a, b) > = {[A]t .[J]}.| a ∧ b > = | [a, b][A] >
... hat eine Konsequenz, nämlich die Möglichkeit, immer schreiben zu können:
∀ A ∈ ⊞-(3, R) :
ΦA(a). | b > = {[A]t .[J]}.[J]Φ(a).| b > = | [a, b][A]>
Was zu folgendem führt:
∀ A ∈ ⊞-(3, R) :
{Φ[A](a) - {[A]t .[J]}.[J]Φ(a)}.|b > = | 0 >
Für nicht-degenerierte Situationen eine Kontinuitätsbeziehung existiert, die die einfachsten trivialen Zerlegungen verknüpft, wenn die Deformationsmatrix [A] den Raum M(3, R) ausgehend von [J] beschreibt:
Φ[A](a) = {[A]t .[J]}.[J]Φ(a)
Das Vorhandensein einer Zerlegung eines durch einen beliebigen Würfel A verzerrten Tensorprodukts spiegelt sich in dieser Diskussion durch die vermutete Existenz eines Paares ([P], z) wider, sodass:
| ⊗A(a, b) > = [P]. | b > + | z >
Da es immer mindestens eine triviale Zerlegung dieses verzerrten Tensorprodukts gibt, kann diese Beziehung auch wie folgt geschrieben werden:
{AΦ(a) - [P]}. | b > = | z >
Das bedeutet, dass das System der drei Linearkombinationen, geschrieben als Funktion der Komponenten des Ziels b, eine Diskriminante hat, die von den Komponenten des Projektils a abhängt:
Λ(a) = | AΦ(a) - [P] |
Im Allgemeinen ist dieses Polynom aufgrund des Formalismus der trivialen Zerlegung vom Typ Φ vom Grad drei. Es ist zweifellos nützlich zu bemerken, dass bis zu diesem Stadium die Komponenten des Paares (Projektil, Ziel), die Einträge der Matrix [P] und die Knoten des verformenden Würfels A Elemente eines beliebigen Körpers K sein könnten, ob kommutativ oder nicht. Zunächst beschränke ich die Darstellung auf den Fall, in dem K = C ist, dem kommutativen Körper der komplexen Zahlen.
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Seite aktualisiert am 24. September 2026
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