La maison d'Hades

Hier beginnt erst wirklich das, was das Heft mit dem Titel "Die Leere von J.C. Maxwell" zu tun vorschlug: die nicht unbedingt trivialen Zerlegungen von Vektorprodukten zu beschreiben, die möglicherweise deformiert worden wären.
 
Die Diskussion findet daher in einem dreidimensionalen Vektorraum statt. Da es heute üblich ist anzunehmen, dass elektrische und magnetische Felder ihre Komponenten im kommutativen Körper C der komplexen Zahlen haben, haben auch die Vektoren der folgenden Diskussion ihre Komponenten in diesem Körper.
 
Da das Ziel außerdem darin besteht, möglicherweise deformierte Vektorprodukte zu zerlegen, kann dieser Vortrag in einem Unterkapitel des Kapitels über die Zerlegungen der deformierten Tensorprodukte in einem dreidimensionalen Raum stattfinden, die dadurch gekennzeichnet sind, dass die deformierenden Würfel darin antisymmetrisch sind.

Das Ziel dieser Seite ist einfach: die Diskriminante des assoziierten Systems zu berechnen, mit einer eventuellen Zerlegung eines verzerrten Vektorprodukts.

Hier, speziell in diesem Fall, ist der verzerrende Würfel A jedoch auf eine verzerrende Matrix [A] reduzierbar, was ich wie folgt schreiben werde:

Λ(a) = | _[A]Φ(a) - [P] | 

Wie ich nun zeigen werde, ist diese Diskriminante kein Polynom dritten Grades.

Die Diskriminante des Systems, das mit einer möglicherweise nicht-trivialen Zerlegung eines verzerrten Vektorprodukts verbunden ist, ist ein Polynom von höchstens Grad zwei.

Wegen der natürlichen Antisymmetrie des Vektorprodukts (siehe dessen Definition auf der entsprechenden Seite), ob verzerrt oder nicht, ist das Vektorprodukt eines Vektors mit sich selbst - unabhängig von diesem Vektor - gleich Null:

∀ [A] ∈ M(3, C), ∀ a ∈ E(3, C) :  [a, a]_[A] = 0

Die Projektion dieser Gleichung in den Dualraum wird wie folgt geschrieben:

∀ [A] ∈ M(3, C), ∀ a ∈ E(3, C) :  | [a, a]_[A] > = | 0 >

Sie lässt immer mindestens die folgende triviale Zerlegung zu:

∀ [A] ∈ M(3, C), ∀ a ∈ E(3, C) :  | [a, a]_[A] > = _[A]Φ(a).| a > = | 0 >

Damit die letzte Gleichheit auf der rechten Seite der vorherigen Zeile erfüllt werden kann, gibt es nur drei Fälle:

1) Der Vektor a ist Null; dies ist von geringem Interesse.

2) Die Deformationsmatrix [A] ist Null; auch dies ist von keinem Interesse.

3) Das System ist degeneriert; es besteht eine Abhängigkeit zwischen dem Vektor a und der Deformationsmatrix [A] mit der folgenden Konsequenz:

| _[A]Φ(a) | = 0

Dies entspricht dem Verschwinden des Anteils dritten Grades der Diskriminante des zugehörigen Systems bei beliebiger Zerlegung. Diese Diskriminante ist daher vermutlich höchstens vom Grad zwei. Dafür gibt es zwei Gründe:
 
a) Die Zerlegungsmatrix vom Typ Φ ist das einzige mathematische Objekt in der Diskussion über die Diskriminante, das an der Lösung der Frage (E) beteiligt ist und dessen Determinante eine multilineare Form rein dritten Grades ist.
 
b) Das Auftreten der unbekannten Matrix [P] transformiert diese multilineare Form lediglich durch das Hinzufügen von Termen, deren Grad systematisch kleiner als drei ist.

Warnung: Die Demonstration ist auf Mobiltelefonen nicht zugänglich und nur durch das Aktivieren des Widgets sichtbar.

Jedem verzerrten Vektorprodukt, das auf E(3, C) definiert ist und möglicherweise nichttrivial zerlegt werden kann, entspricht eine Polynomform vom Grad höchstens zwei, ausgedrückt als Funktion von drei Komponenten des Projektils, die in diesem Produkt vorkommen.
 
Es ist vernünftig, generisch zu schreiben, dass:

∃ ([P], z) ∈ M(3, C) x E(3, C) :

∀ b ∈ E(3, C) : | [a, b]_[A] > = [P].| b > + | z >

⇓

Λ(a)

=

| _[A]Φ(a) - [P] | 

= 

∑_m d_mm.(a^m)² + ∑_m∑_n (d_mn + d_nm).a^m.aⁿ - | P |

 
Die weitere Erkundung wird darin bestehen herauszufinden, welche Paare ([P], z) vernünftigerweise mit den intrinsischen Daten des Problems verknüpft werden können; siehe die Seite, die die verschiedenen Zerlegungsmethoden formal beschreibt.

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Link zur originalen französischen Seite
 
 Seite aktualisiert am 24. September 2026
 
© Thierry PERIAT