Wie ich im ersten Kapitel des Heftes «Das Vakuum von J.C. Maxwell» erläutert habe, existieren volumetrische Kraftdichten in leeren Regionen weit entfernt von Quellen (Massen, elektrische Ladungen), sobald die Gesetze des Elektromagnetismus dort Anwendung finden.
Die Herleitung erfolgt in einem geometrischen und physikalischen Kontext, der dem entspricht, was sich die Zeitgenossen dieses schottischen Physikers vorstellen konnten.
Die Beweistechnik stützt sich auf (i) klassische Vektorprodukte, (ii) deren Projektion in den Dualraum des Vektorraums E(3, R), bezogen auf eine rechtshändige orthonormale Basis der Dimension drei, und (iii) die triviale Zerlegung dieser Projektionen.
Dieses Protokoll kann daher potenziell auf mehreren Ebenen verallgemeinert werden: (i) durch Verformung der Vektorprodukte, (ii) durch eine anspruchsvollere Projektion der verformten Vektorprodukte in den Dualraum und (iii) durch eine nicht-triviale Zerlegung dieser Projektionen.
Dies sind die Themen, die ich auf den folgenden Seiten präsentieren werde.
In unserer alltäglichen dreidimensionalen Umgebung gibt es zwei grundlegende Operationen mit Vektoren. Mathematiker verwenden diese bereits seit mehreren Jahrhunderten.
Die erste wird Skalarprodukt genannt, da das Produkt zweier Vektoren eines Vektorraums E(3, R) ein Element aus R "liefert", einem kommutativen Körper, dessen Elemente als Skalare bezeichnet werden.
Die zweite ist eine Operation, die zwei Vektoren desselben Raums E(3, R) so miteinander verknüpft, dass das Ergebnis unter Verwendung der umgangssprachlich oft als "Korkenzieherregel" bezeichneten Methode gewonnen wird.
Tatsächlich wissen wir, dass diese beiden Operationen durch die Regeln der euklidischen Trigonometrie miteinander verbunden sind.
Die Arbeiten von Gauß und Riemann führen dazu, Extrapolationen der ersten dieser beiden Operationen zu definieren.
Das Skalarprodukt lässt sich in Bezug auf eine Geometrie definieren. Die Informationen der Geometrie sind in einer quadratischen Matrix (D – D) enthalten; D stellt die natürliche Zahl ungleich null dar, die größer als eins ist und den Vektorraum definiert, in dem die Diskussion stattfindet.
Seien also fortan a und b zwei beliebige Elemente eines reellen Vektorraums der Dimension D, E(D, R), bezogen auf eine durch eine Matrix [G] aus M(D, R) definierte Geometrie, so schreibt sich das Skalarprodukt dieser beiden Vektoren unter diesen Umständen wie folgt:
< a, b >[G] = ∑ gαβ. aα. bβ
Arbeiten, die das klassische euklidische Skalarprodukt verallgemeinern, sagen nichts darüber aus, wie die Definition des Vektorprodukts auf Räume der Dimension D erweitert werden kann.
Eine Theorie die, die Tensorprodukte deformiert, ist ein Versuch eine Erweiterung für diese Operation zu definieren. Ich habe die Gesamtheit der zu diesem Thema durchgeführten Arbeiten "Theorie der Frage (E)" genannt. Die Theorie definiert deformierte Tensorprodukte, alternierende deformierte Tensorprodukte und deformierte Vektor- und Lie-produkte. Mehr Details finden sich zur Zeit nur in der original französischen Version oder manchmal auf Englisch in meinen vorherigen Publikationen.
Es wäre jedoch ungenau zu glauben, dass diese Thematik in der Mathematik noch nicht behandelt wurde. Der Begriff des alternierenden Tensorprodukts dient dazu, äußere Produkte zu definieren. Wie der Name dieser Produkte jedoch andeutet, liegt das Bild des äußeren Produkts zweier Vektoren aus einem Raum der Dimension D nicht im Ausgangsraum; mit Ausnahme des Falls, in dem D = 3 ist.
Seite aktualisiert am 18. August 2026