J’ai expliqué au cours des pages précédentes la démarche intuitive me poussant à postuler l’existence de deux types d’énergies et à penser que les nombres complexes, ainsi que les quaternions, pourraient éventuellement aider à concrétiser cette affirmation.
Je vais donc me mettre à la tâche et tenter de prouver le bien-fondé de mon intuition en l’appliquant aux champs électromagnétiques.
Il semble donc nécessaire de rappeler quelques données indispensables les concernant.
Les équations de J. C. Maxwell font partie des plus anciennes représentations connues des champs électromagnétiques [01]. Les réflexions et les efforts d'O. Heaviside déjà évoqués plus haut dans ce livret [02] ont eu pour effet d'en privilégier une représentation vectorielle cartésienne au sein de laquelle apparaissent des formes différentielles [03 ; section 7.4, p. 355]. Ces formes (divergences, rotationnels, Laplaciens) aident à rendre compte des variations des champs dans l'espace et au cours du temps. L'époque à laquelle ces outils ont été mis au point explique que les premières formulations mathématiques s'effectuent implicitement dans un environnement géométrique tridimensionnel euclidien.
La prise en compte dans les travaux scientifiques de géométries différentes, notamment celle de Riemann [04 - D (1854)], intervient après la publication de la théorie de la gravitation due à A. Einstein [05 - D] ; par exemple par É. Cartan dans [06 - FR (1922)], [07 - FR (1925)].
La fin du dix-neuvième siècle et le début du vingtième correspondent à une période prolifique des mathématiques qui voit éclore, entre autres trouvailles de l'esprit humain, le calcul tensoriel, l'étude des formes bilinéaires différentielles et des surfaces [08 - FR (1889)], la théorie des spineurs [09- USA]. Cette liste ne prétend pas être complète.
En ce qui concerne spécifiquement l'électromagnétisme, [10 - FR], ces jaillissements de la pensée humaine aboutissent à se rendre compte des avantages qu'il y a à représenter les champs électromagnétiques à l'aide de formes extérieures ; c'est la démarche suivie dans [11 - FR ; § 8, p.15] :
Expression dans laquelle (i) les indices valent 0, 1, 2, 3 ; (ii) le produit vectoriel classique apparaît. L'appartenance de ces composantes au corps commutatif des nombres complexes, C, s'avère être une nécessité permettant par exemple de rendre compte de réalités expérimentales concernant les oscillations des cordes, les courants alternatifs et, plus généralement, les phénomènes ondulatoires [12 - FR].
Les formes quadratiques extérieures peuvent s'incorporer dans l'ensemble des travaux dédiés au calcul tensoriel. Il existe d'ailleurs un « Que sais-je ? » exposant les rudiments nécessaires à comprendre le sujet [13]. Je m’en suis inspiré pour construire les déformations des produits vectoriels ; voir le document joint sur la page les produits vectoriels déformés. La donnée simultanée de plusieurs formes quadratiques extérieures équivaut quasiment à celle d'un produit tensoriel alterné déformé.
Le concept de tenseur adjoint fait partie des connaissances accompagnant ce type de calcul. Les bases de son application au domaine de l'électromagnétisme sont expliquées dans [11 ; § 8, p.16] ; je vais y revenir.
Les propriétés des composantes du tenseur champ électromagnétique ont suggéré de représenter ce type de champs par des éléments de M(4, C). Elles sont traditionnellement regroupées de la manière suivante [14 ; § 23, p.73] :
Ou parfois aussi à l’aide de matrices partitionnées :
J'ai jusqu'à présent décrit les représentations possibles d'un champ électromagnétique, in extenso une paire (E, H) traditionnellement dans E^2 (3, R), dans un ordre respectant grosso modo l'évolution chronologique des concepts ayant servi à les mettre au point. Pour un bref rappel : les vecteurs (Maxwell-Heaviside), les formes extérieures (Pfaff, Cartan, ...), les matrices (comme outil rendant indirectement compte de la loi de Lorentz).
A ces représentations historiques, je souhaite en ajouter d'autres dans lesquelles les quaternions jouent un rôle central. Un cours en ligne du M.I.T. [15] expliquant les motifs de la naissance des quaternions ainsi que certaines de leurs propriétés renforce ma motivation.
J'y ai remarqué que les représentations matricielles habituelles des éléments de M(4, R) ou de leurs équivalents sous une forme partitionnée permet de représenter le produit de deux quaternions comme suit :
Il semble donc possible de représenter n'importe quel quaternion par un élément de M(4, R) ; l'exemple ci-dessus suggère :
Bilan : Le formalisme de la seconde matrice dans cette somme est tel qu'il pourrait représenter un champ électromagnétique dont les deux branches vectorielles seraient égales et égales à la partie vectorielle d'un quaternion.
Cette remarque anodine va permettre de relier la somme des représentations d'une paire de quaternions avec les champs électromagnétiques et c'est exactement là où je voulais en venir.
Les propos précédents invitent à formaliser la représentation matricielle d'un quaternion classique de la manière standardisée suivante :
1) L'ensemble des représentations matricielles des quaternions est symbolisé par Quat(4, R) ; c'est un sous-ensemble de M(4, R).
2) La représentation matricielle de l'adjoint d'un quaternion est l'adjointe de la représentation matricielle de ce quaternion.
3) La représentation matricielle de la somme de deux quaternions est égale à la somme des représentations matricielles de chacun d'entre eux.
4) Il existe au moins deux manières de décomposer la représentation matricielle d'une somme de deux quaternions.
Soit deux quaternions, et soit leur somme :
En effet, soit une paire (E, H) ; elle a au moins les deux représentations matricielles habituelles suivantes (voir ci-dessus) :
Et en supposant que chaque champ présent dans une région vide (absence de charge électrique), qu'il soit de nature électrique ou de nature magnétique, représente un quaternion purement imaginaire (ou inversement se laisse représenter par un quaternion purement imaginaire), ... la décomposition de la somme de la représentation matricielle d'un champ électrique et de la représentation matricielle d'un champ magnétique peut se représenter par la différence entre la représentation matricielle de la version deux fois contravariante du tenseur champ électromagnétique et la représentation matricielle duale de cette version deux fois contravariante :
Cette affirmation peut être étendue à une représentation de la somme de deux quaternions presque quelconques :
Ce constat peut donner envie d'interpréter la partie réelle de ces quaternions électriques et magnétiques comme des charges électriques égales dont le signe est opposé ; ce qui évoque un lien avec la notion de particule - anti-particule.
Nota bene :
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[01] Maxwell, J. C.: A Dynamical Theory of the Electromagnetic Field; Philosophical Transactions of the Royal Society of London, 1865, 155: 459...512.
[02] Heaviside, O.: XI. On the Forces, Stresses, and Fluxes of Energy in Electromagnetic Field (June 1891 - Mai 1892), pp. 423-480 ; [online] https://royalsocietypublishing.org (lien externe) doi/10.1098/rsta.1892.0011/1272264/rsta.1892.001 ; [consulté le 8 June 2026].
[03] Berkeley, Cours de physique, volume 3, ondes, Collection U, © Librairie Armand Colin, Paris, 1972, 603 pages.
[04] Riemann, B.: Über die Hypothesen welche die Geometrie zu Grunde liegen: Habilitationsschrift, 10 June 1854, in Göttingen - Gesammelte Math. Werke, Leipzig, 1872, p. 254-269.
[05] Einstein, A.: Die Grundlage der allgemeinen Relativitätstheorie; Annalen der Physik, vierte Folge, Band 49, (1916), N 7.
[06] Cartan, É. : Sur les équations de la gravitation d'Einstein (J. de Math. pures et appliquées, 9e série, t. 1, 1922, p. 141-203).
[07] Cartan, É. : La géométrie des espaces de Riemann ; Mémorial des Sciences Mathématiques (lien externe), fascicule IX, Gauthier-Villars et Cie Éditeurs, Paris, 1925.
[08] Darboux, G. : Leçons sur la théorie des surfaces ; Cours de géométrie de la Faculté des Sciences, deuxième partie : les congruences et les équations aux dérivées partielles des lignes tracées sur les surfaces. Gauthier-Villars et Cie Éditeurs, Paris, 1889.
[09] Cartan, É.: The theory of spinors. First published by Hermann of Paris in 1966; translation of the “Leçons sur la théorie des spineurs (2 volumes)''; Hermann, 1937; Dover Publications, Inc. New York. © 1966 by Hermann, Paris, ISBN 0-486-64070-1.
[10] Berkeley, Cours de physique, volume 2, électricité et magnétisme, Collection U, © Librairie Armand Colin, Paris, 1973, 460 pages.
[11] Lichnerowicz, A.. : Théories relativistes de la gravitation et de l'électromagnétisme, Relativité générale et théories unitaires, Masson et Cie, Éditeurs 1955, 289 pages.
[12] Berkeley, Cours de physique, volume 3, ondes, Collection U, © Librairie Armand Colin, Paris, 1972, 603 pages.
[13] Delachet, A. : Le calcul tensoriel, Collection « Que sais-je ? », numéro 1336, Presse Universitaire de France (P.U.F.), Paris, 1969, 126 pages.
[14] Landau, L. D. et Lifschitz, E. M.: Lehrbuch der theoretischen Physik, II: Klassische Feldtheorie; Akademie Verlag GmbH, Berlin 1992 ISBN 3-05-501550-9, 480 S.
[15] Prof. Berthold Horn: Lecture 18 - Rotation and How to represent it, Unit Quaternions, the Space of Rotations [Vidéo Youtube, 8 juin 2022], M.I.T 6.801 Machine Vision, OpenCourseWare (ocw.mit.edu), printemps 2020.