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© Thierry PERIAT
Ein verzerrtes Vektorprodukt ist nicht immer ein verzerrtes Lie-Produkt.
Aber es kann unter bestimmten Bedingungen eines sein, die die Erkundungen auf dieser Seite aufzeigen.
Ich beginne mit einigen allgemeinen Hinweisen, um die Diskussion, die auf dieser Seite beginnt, richtig einzuordnen. Die Theorie der Frage (E) beginnt mit dem in der Einführung zum Schmelztiegel ausführlich erklärten Vorgehen.
Wie auf anderen Seiten bereits erklärt, kann das verzerrte Vektorprodukt als ein durch einen Würfel (3-3-3) verzerrtes Tensor-produkt verstanden werden, dessen untere Knotenindizes mit einer Antisymmetrieeigenschaft versehen sind; siehe dazu noch einmal die Seite über Würfel.
Aχαβ + Aχβα = 0 ⇔ A ∈ ⊞-(D, K)
Es wurde auf der Seite, die die verschiedenen Arten von verformten Produkten (tensorielle, alternierende und Vektorprodukte) definiert, jedoch noch nicht erklärt, ob die verformten Vektorprodukte manchmal verformte Lie-Produkte sein können. Ich werde diesen Aspekt daher genauer untersuchen.
In dieser Theorie ist ein deformiertes Vektorprodukt per Definition die Hälfte eines alternierenden deformierten Tensorprodukts, das auf einem Würfel aufgebaut ist, dessen untere Indizes die sogenannte Antisymmetrieeigenschaft erfüllen.
Es wird effektiv zu einem deformierten Lie-Produkt, wenn es den Raum mit einer Lie-Algebrastruktur ausstattet; das heißt, wenn die folgenden drei Eigenschaften erfüllt sind:
∀ a, b, c ∈ E(D, K)
∀ A ∈ ⊞-(D, K)
[a, a]A = 0
[a, b]A + [b, a]A = 0
J[...,...]{a, b, c}
=
[a, [b, c]A]A + [b, [c, a]A]A + [c, [a, b]A]A
=
0
Die wissenschaftliche Literatur spricht von der dritten Bedingung, indem sie besagt, dass der Jacobiator für die Lie-Klammer eines jeden Teils von E(D, K) mit einer Kardinalität von drei null ist.
Da ein verzerrtes Vektorprodukt der Hälfte eines verzerrten alternierenden Tensorprodukts entspricht, das auf einem antisymmetrischen Würfel aufgebaut ist, spielt der Faktor einhalb keine strukturelle Rolle und die Definition eines verzerrten Lie-Produkts kann mit der Symbolik der verzerrten alternierenden Tensorprodukte neu geschrieben werden.
∀ a, b, c ∈ E(D, K)
∀ A ∈ ⊞-(D, K)
∧A(a, a) = 0
∧A(a, b) + ∧A(b, a) = 0
∧A(a, ∧A(b, c)) + ∧A(b, ∧A(c, a)) + ∧A(c, ∧A(a, b)) = 0
Außerdem, ebenfalls per Definition:
∧A(a, b)
=
2. ∑χ {∑α < β ∑β Aχαβ. (aα. bβ - aβ. bα)}.eχ
Daraus ergibt sich problemlos, dass die erste Eigenschaft immer erfüllt ist. Gleiches gilt für die zweite, solange K eine Menge mit einem kommutativen Produkt ist:
∧A(a, b) + ∧A(b, a)
=
2. ∑χ {∑α < β ∑β Aχαβ. (aα. bβ - aβ. bα)
+ (bα. aβ - bβ. aα)}.eχ
=
0
Die Charakterisierung der dritten Eigenschaft erfordert deutlich mehr Arbeit und birgt einige Überraschungen, die sich als interessant erweisen werden.
Die detaillierten Berechnungen dieses Abschnitts sind auf Mobiltelefonen nicht zugänglich.
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Die im Folgenden ausführlich dargestellten Berechnungen betreffen nur Räume der Dimension drei (D = 3).
Die Würfel A werden daher durch beliebige Elemente [A] in M(3, K) dargestellt.
Seien die drei Doppelprodukte:
Es folgt:
Der Jakobiatoren-Formalismus für den Fall D = 3 zeigt sofort die Existenz zweier spezieller Teilmengen von Situationen.
Teilmenge 1: Sie enthält die Situationen, in denen, unabhängig von den Argumenten a, b und c, die Einträge/Komponente der Matrizen [A] die folgende Bedingung erfüllen:
∀ a, b, c ∈ E(3, K)
A ∈ ⊞-(3, K) ⇒ A ≡ [A]
∀ i = 1, 2, 3 :
(Ai12. A223 + Ai12. A113 + Ai13. A323)
=
(Ai23. A313 + Ai23. A212 + Ai13. A112)
Untermenge 2: Sie enthält die Situationen, für die unabhängig von den verzerrenden Matrizen jedes Tripel {a, b, c} die Bedingungen erfüllt:
< a, b ∧ c > = 0K
< b, c ∧ a > = 0K
< c, a ∧ b > = 0K
Jede Untermenge wird separat studiert.
In dreidimensionalen Vektorräumen (D = 3), die über kommutativen Körpern (zum Beispiel den reellen und den komplexen Zahlen) aufgebaut sind, ist es möglich, die klassischen Vektorprodukte zu verzerren; siehe die vorherige Seite.
Diese verzerrten Vektorprodukte werden unter bestimmten Bedingungen zu verzerrten Lie-Produkten, die sich in mindestens zwei Teilmengen spezifischer Situationen einteilen lassen (siehe oben).