La maison d'Hades

Die vorherige Seite hat bereits einen Teil des Weges aufgezeigt, der zum generischen Formalismus des Hauptteils [P] einer Zerlegung eines Vektorprodukts führt, das durch eine invertible Matrix [A] verzerrt wurde. Ich setze die Suche nach diesem Formalismus hier fort.

Lange und mühsame algebraische Berechnungen vervollständigen diesen Anfang des Weges. Sie liefern die folgenden Ergebnisse:

∀ m, n = 1, 2, 3 : d_mn = Tr{[_mnT].[P]}

Es stellt sich heraus, dass die ersten schritte beim wiederaufbau des hauptteils [P] zur berechnung des matrizenprodukts führten zu:

Dieses Vorgehen hat somit eine Matrix [X] hervorgebracht, deren Diagonale mit derjenigen der Matrix [D] übereinstimmt. Die algebraische Rechnung führt zu dem Schluss, dass:

∀ m, n = 1, 2, 3 : x_mn + x_nm = d_mn + d_nm

Das erste algebraische Ergebnis offenbart einen mathematischen Begriff, dessen Bedeutung weit über das hier untersuchte Problem hinausgeht. Ich habe ihn als "Matrixverschmelzung" bezeichnet. Das ist mindestens das, was der Formalismus dieses Ergebnisses nahelegt. Jeder Koeffizient zweiten Grades des Polynoms, das mit der Zerlegung eines durch eine invertible Matrix verformten Vektorprodukts verbunden ist, ist die Spur eines Matrixprodukts, dessen zweites Argument die dringend gesuchte Matrix [P] ist.
 
Eine erste Formulierung dieses Begriffs, zweifellos vorläufig und verbesserungsfähig, lässt sich wie folgt angeben:
 
Sei eine Menge von neun Elementen [_mnM] einer Menge M(D, K) und ein zehntes Element [P] gegeben.
Die Matrixverschmelzung der neun Elemente durch Kontakt mit dem zehnten ist die Abbildung, die diesen zehn Elementen ein elftes zuordnet, das durch die folgende Beziehung definiert ist:

{..., [_mnM], ...} → F_[P]{..., [_mnM], ...} = [Tr{[_mnM].[P]]

Das zweite algebraische Ergebnis legt nahe, das Konzept der "äquivalenten Matrizen" einzuführen. Und in gewisser Weise definiert es dieses auch explizit.

[X] + [X]^t = [D] + [D]^t ⇐⇒ [X] ≡ [D]

Es ist leicht zu überprüfen, dass hier tatsächlich eine völlig standardmäßige Äquivalenzrelation vorliegt, da:

1) eine Matrix [X] ist zwangsläufig zu sich selbst äquivalent:

[X] ≡ [X]

2) wenn eine Matrix [X] zu einer Matrix [X'] äquivalent ist, dann gilt natürlich:

[X] + [X]^t = [X’] + [X’]^t = [X] + [X]^t 

… und die Matrix [X'] ist äquivalent zur Matrix [X] – es liegt also Reflexivität vor:

[X] ≡ [X'] ⇒ [X'] ≡ [X]

3) wenn eine Matrix [X] äquivalent zu einer Matrix [X'] ist, und wenn die Matrix [X'] äquivalent zu einer Matrix [X''] ist, dann:

[X] + [X]^t = [X’] + [X’]^t = [X’’] + [X’’]^t 

... und die Matrix [X] ist äquivalent zur Matrix [X'']; Fazit: Es gibt tatsächlich die Transitivität:

{[X] ≡ [X'] et [X'] ≡ [X'']} ⇒ [X] ≡ [X'']

Da dies nun feststeht, ist es erwähnenswert, dass zwei äquivalente Matrizen (im oben genannten Sinne dieses Wortes) dieselbe Diagonale und somit dieselbe Spur haben (die Umkehrung ist falsch):

[X] ≡ [D] ⇒ Trace{[X]} = Trace{[D]}

Wenn zudem die Koeffizienten des Polynoms Λ, das mit der Zerlegung eines deformierten Vektorprodukts zusammenhängt, nicht vom Projektionsobjekt abhängen (dem ersten Argument dieses Produkts; zum Beispiel hat für [a, b]_[A]):

[Hess_aΛ(a)] = [D] + [D]^t 

Aus diesen Erwägungen folgt im Allgemeinen:

|A|.{[A]^-1.[J]}^t.[P] + [P]^t. {[A]^-1.[J]} = [D] + [D]^t = [Hess_aΛ(a)]

Eine ergänzende Rechnung zeigt, dass der während dieser Exploration aufgetretene Faktor mit der effektiven verzerrenden Matrix (oder deren Inversen) übereinstimmt:

{{[A]^-1.[J]}^t}^-1 = {[J]^t.{[A]^-1}^t}^-1 = {[A]^-1}^t}^-1. {[J]^t}^-1 = [A]^t.[J] = [A]*

Aus all diesen algebraischen Überlegungen ergibt sich, dass:

|A|.{[A]*^-1.[P] + [P]^t.{[A]*^-1}^t = [Hess_aΛ(a)]

Lemma

Die vorherige Beziehung verbindet stets den Hauptteil [P] mit der Inverse der effektiven Deformationsmatrix und der Hessee-Matrix, die sich aus der Zerlegung des vorliegenden deformierten Vektorprodukts ergibt.

Das Lemma ist letztlich logisch. Es gibt in der Tat a priori keinen Grund, eine Zerlegung unter der Unendlichkeit der möglichen Zerlegungen zu bevorzugen. Andererseits erscheint es normal, dass ein Zusammenhang zwischen dem Hauptteil [P] und den beiden Faktoren existiert, die eine zentrale Rolle beim Auftreten der Zerlegung spielen, der sie entspricht.
 
Diese Behauptung erscheint sinnvoll, wenn man sich Folgendes ins Gedächtnis ruft:
 
1) die Arbeit von E. Cartan über Metriken, die mit Flächen (in Entwicklung) verbunden sind. Sie enthält die wesentliche Information, dass eine Hessematrix mit der Darstellung einer Metrik identifiziert werden kann.
 
2) das Prinzip der Unabhängigkeit zwischen einer Metrik (dem Wissen zu messen) und einem Zusammenhängen bzw. einer Verbindung (dem Wissen zu verschieben): das Palatini-Prinzip.
 
Die oben gefundene Beziehung stellt somit eine recht präzise Verbindung her zwischen (i) einem bestimmten Typ von Metriken, die durch die Hessematrizen der Polynome dargestellt werden, welche mit den Zerlegungen deformierter Vektorprodukte verbunden sind, (ii) einer Menge von Zusammenhängen, die durch antisymmetrische Würfel dargestellt werden, und (iii) den Hauptteilen der Zerlegungen dieser Vektorprodukte in genau diesem Umfeld.
 
Diese Kommentare lassen schrittweise verstehen, dass die von der Mathematik auf die Frage (E) gegebenen Antworten in jedem physikalischen Rahmen ihre volle Bedeutung zeigen werden, indem sie die Anwendung ermöglichen.
 
Man muss sich vor Augen halten, dass die Art und Weise, wie die Verbindungen zwischen Metriken und Zusammenhängen behandelt werden, derzeit eine Reihe von Theorien bestimmt: die der Gravitation von A. Einstein (Verträglichkeit zwischen Metrik und Zusammenhang plus Torsionsfreiheit), die von Einstein-Cartan sowie jene, die in der Quantenphysik und der Kosmologie entwickelt wurden (strikte Anwendung des Palatini-Prinzips).

Das übliche (klassische) Kreuzprodukt ist in Wirklichkeit ein durch die Matrix [A] = [J] verzerrtes Kreuzprodukt, das als Reduktion des Würfels verstanden werden kann, dessen Knoten die Komponenten des vollständig antisymmetrischen Levi-Civita-Tensors dritten Ranges sind.

Es zeigt sich, dass in diesem Fall:

 |A| = |J| = -1

... und dass:

 [A]* = [J]^t.[J] = Id₃ = ⁽³⁾[G(Euclide)]

Per Definition würde ich sagen, dass das Paar ([A], [G]) = ([J], Id₃) "das euklidische Ambiente in einem dreidimensionalen Vektorraum" charakterisiert.

In diesem Ambiente besagt das vorherige Lemma, dass:

-{[P] + [P]^t} = [D] + [D]^t 

 
Es läuft im Grunde darauf hinaus zu sagen, dass in diesem euklidischen Umfeld der Hauptteil der Zerlegung eines klassischen Vektorprodukts immer (in dem oben für dieses Wort angegebenen Sinne) bis auf ein Minuszeichen äquivalent ist zur Matrix [D] der Koeffizienten zweiten Grades des aus dieser Zerlegung resultierenden Polynoms:

[P] ≡ -[D]

Zur Erinnerung: äquivalent bedeutet nicht gleich.

Eine Überlegung darüber, was eine klassische Ambiante ausmacht, führt schnell zu der Erkenntnis, dass der klassische Kontext, in dem wir zu leben glauben, zwei Aspekte umfasst: den der Skalarprodukte und den der Vektorprodukte. In einem euklidischen dreidimensionalen Raum sind die beiden Aspekte miteinander verknüpft, wie eine einfache und wohlbekannte trigonometrische Beziehung schnell erkennen lässt; und zwar:

cos²θ + sin²θ = 1

...führt zu:

∀ a, b ∈ E(3, R) : 
||a||².||b||².(cos²θ + sin²θ) = ||a||².||b||² 
⇓
||a||².||b||². cos²θ + ||a||².||b||².sin²θ = ||a||².||b||²
⇓
< a, b >_Id3 + ||a ∧ b||² = ||a||².||b||²

Das klassische Ambiente zeichnet sich daher de facto durch das Paar ([G] = Id₃, [A] = [J]) aus. 

Die allgemeine Formel, die die Hesse-Matrix mit den Matrizen [A]* und [P] verknüpft (siehe oben am Ende von § 3), legt nahe, die Einführung einer Matrix [N] vorzuschlagen, die als "Kern" bezeichnet wird. Sie muss äquivalent zur Hälfte der Hesse-Matrix des Polynoms Λ sein, das zu der Zerlegung gehört, deren Hauptteil die gesuchte Matrix [P] wäre:

[N] = |A|.{[A]^-1.[J]}^t.[P] ≡ ½.[Hess_aΛ(a)] 

Außerdem, da (i) jede Matrix immer in ihren symmetrischen und ihren antisymmetrischen Teil zerlegt werden kann; (ii) die Hesse-Matrix des Polynoms Λ hier immer symmetrisch ist, erscheint es sinnvoll, in Betracht zu ziehen, Folgendes zu schreiben:

[N] = [A]*^-1.[P] = ½.(1/|A|).[Hess_aΛ(a)] + [M]

Mit:

[M] + [M]^t = [0]

In diesem Ausdruck ist die Matrix [M] zwangsläufig antisymmetrisch, um die Äquivalenz zwischen dem Kern und der Hälfte der Hesseschen Matrix sicherzustellen.

Die einfachste Darstellung einer antisymmetrischen Matrix ist eine axiale Rotation um einen vorerst unbestimmten Vektor X; all dies führt nun dazu, einen ersten Entwurf für den Formalismus des Hauptteils [P] vorzuschlagen:

[P] = [A]*.{½.(1/|A|).[Hess_aΛ(a)] + _[J]Φ(X)}

Es ist an der Zeit, sich daran zu erinnern, dass jedes verzerrte Vektorprodukt:

1) die effektive Verzerrung eines klassischen Vektorprodukts ist;

2) immer eine einfache triviale Zerlegung besitzt.

Diese Erinnerungen ermöglichen es, die folgenden Beziehungen gleichzeitig zu schreiben:

| [a, b]_[A] > = _[A]Φ(a).| b > = [A]*.| a ∧ b > = [A]*._[J]Φ(a).| b >

Sie bewirken:

{_[A]Φ(a) - [A]*._[J]Φ(a)}.| b > = | 0 >

Daher ergibt sich im Rahmen dieser Diskussion über Zerlegungen (siehe die Einführung zu Zerlegungen in Räumen jeder ganzzahligen Dimension größer oder gleich zwei), die niemals vom Ziel b abhängen, Folgendes:

_[A]Φ(a) = [A]*._[J]Φ(a)

Die einfachste triviale Zerlegung eines verzerrten Vektorprodukts ist die effektive Verzerrung der einfachsten trivialen Zerlegung eines klassischen Vektorprodukts. Ich finde hier ein Ergebnis wieder, das bereits auf der Seite über die Zerlegungen der verzerrten Vektorprodukte erzielt wurde.

Im Hinblick auf den Vorschlag in § 5 und unter Berücksichtigung der vorherigen Information wird es logisch zu sagen, dass der Hauptteil [P] einer Zerlegung de facto die Verformung des Matrixkerns ist:

[N] = ½.(1/|A|).[Hess_aΛ(a)] + _[J]Φ(X)

Da der Vorschlag es ermöglicht zu schreiben: 

 [P] = [A]*.[N]

Ist dieser Ansatz zur Frage (E) schlüssig? Wenn dem so ist, liefert er die folgenden Kerne für eine euklidische Atmosphäre:

[N(Euclidien)] = -½.[Hess_aΛ(a)] + _[J]Φ(X)

Generell sind die einfachsten trivialen Zerlegungen immer Teil der Lösungen. Im euklidischen Raum wird die einfachste triviale Zerlegung erreicht, wenn:

_[J]Φ(a) = -½.[Hess_aΛ(a)] + _[J]Φ(X)

Da die Hesse-Matrix vollständig symmetrisch und die Matrix Φ vollständig antisymmetrisch ist, erfordert die Konsistenz des Vorgehens, die einfachsten trivialen Zerlegungen in einer euklidischen Umgebung durch zwei zusätzliche Beziehungen zu charakterisieren:

([A], [G]) = ([J], Id₃)

⇓

X = a    [Hess_aΛ(a)] = [0]

Wie ich auf einer anderen Seite gezeigt habe, weisen triviale Zerlegungen nicht nur den einfachsten Formalismus auf. Daher sollte man diese erste Bemerkung zu dieser Art von Zerlegungen als einen speziellen Grenzfall betrachten. Die Koinzidenz zwischen dem Vektor X und dem Projektil a sowie das Verschwinden der Hesse-Matrix des zugehörigen Polynoms mit der vorliegenden Zerlegung sind zwei außergewöhnliche Merkmale.

Es ist daher keineswegs offensichtlich, das durch ein Paar ([A], [G]) definierte Umfeld mit einer Menge von Zerlegungen verzerrter Vektorprodukte zu verknüpfen, und diese Erkundung ist noch nicht abgeschlossen. Ich führe sie auf den folgenden Seiten fort, nachdem ich ein Anwendungsbeispiel für all diese Überlegungen vorgestellt habe.

Diese Seite wurde teilweise durch die von dem Hosting-Anbieter SiteW zur Verfügung gestellte KI waia übersetzt.
 
Link zur originalen französischen Seite
 
 Seite aktualisiert am 25. September 2026
 
© Thierry PERIAT