E. B. Christoffel revisité Note d'introduction

 Les travaux de E.B. Christoffel (1829 – 1900) [01] ont joué un rôle essentiel dans la génèse de ceux d'A. Einstein.

L'exposé présenté sur cette page explique pourquoi.

Il montre également comment ces travaux peuvent permettre d'introduire la notion de produit tensoriel déformé et la méthode extrinséque de décomposition de ces produits.

 Ce travail est la version française améliorée, revue et corrigée de mon exploration initiale datant de 2012.

Il s’agit ici d'une analyse du travail original d’E.B. Christoffel (1829 – 1900) consacré aux transformations des formes homogènes différentielles de degré deux [02].

Pour la petite histoire, ce mathématicien a en partie travaillé à Strasbourg à l’époque où cette ville était sous administration allemande ; ce qui explique que le texte étudié est écrit en allemand.

Fort heureusement pour la communauté scientifique francophone, son œuvre a trouvé une oreille attentive en la personne d'É. Cotton [03]. C’est ainsi que, grâce à une traduction du travail original, les générations actuelles et futures peuvent et pourront continuer à méditer sur la beauté du travail accompli.

La théorie dite de la question dite (E) se consacre à l’étude des produits tensoriels, alternés et de Lie déformés ainsi qu’à leurs décompositions (synonymes : divisions, éclatements). 

Dans ce qui suit, je vais m’attacher à montrer que :

1) ...des produits tensoriels déformés et leurs décompositions apparaissent spontanément dans le travail historique d’E.B. Christoffel, et plus précisément dans ce que la littérature nomme parfois les premières relations de Christoffel [02; p. 49, (9)] ; 

2) ...par conséquent, ce type de produits joue a priori un rôle important dans la théorie de la relativité générale aussi ; voir l'oeuvre originale [04].

Je rappelle ici que la théorie d'A. Einstein :

(i) ... peut se concevoir comme une version extrapollée à n'importe quelle géométrie spatio-temporelle symétrique^*1 de la préservation de la vitesse de la lumière au cours d'un changement de référentiel ;

(ii) ... introduit au cours de sa quête de l'expression des équations des géodésiques basée sur le respect du principe de moindre action [04 ; §9, pp. 790-792].

(a) ...les symboles de Christoffel [04 ; p. 791, (21) et p. 792, (23)],

(b) sans lui donner de nom, ce qui apparait être aujourd'hui le terme gravitationnel [04 ; p. 792] ; 

(c) sans mentionner l'idée développée par la théorie de la question (E), un produit tensoriel déformé par un cube de Christoffel ; voir l'exemple ci-dessous. Pour les corps en chute libre, le terme gravitationnel vaut moins une fois l'accélération apparente de ce corps.

(iii) ...introduit, consciemment ou non (je ne sais pas), un bout des premières relations de Christoffel dans l'équation [04 ; en haut de la p. 793, relation sans numéro donnant χ] lorsqu'un corps évolue en chute libre dans une étude [04 ; § 10, pp. 792-795] visant à fabriquer des tenseurs covariants par différentiation d'un tenseur covariant.

Comment ne pas voir un lien formel entre [04 ; p. 793, (25)] :

Et [02 ; p. 49, (9)] : 

... menant à proposer dans les circonstances particulières précisées dans [04]^*2 :

... et suggérant (voir le détail de l'analyse plus loin sur cette page) que la composante (α, β) de la dérivée covariante d'un ensemble de fonctions scalaires x_r, r ∈ I_D, (D = dimension de l'espace) est la r-ème composante d'une sorte de produit tensoriel déformé pouvant se noter formellement :

(iv) ... introduit pas à pas la notion de ce que la littérature nomme aujourd'hui dérivée covariante sous le nom allemand de Erweiterung qui signifie élargissement,extension ; sous-entendu et de facto : de la dérivée partielle ordinaire [04 ; p. 793].

La propriété essentielle de la dérivée covariante d'un tenseur tensoriel est de préserver le caractère tensoriel et d'élever le rang du tenseur initial d'un degré [04 ; explications de la fin du § 10].

3) ... que les premières relations de Christoffel offrent une piste permettant d'étudier la version covariante de la loi de Lorentz [05 ; p. 68, (33-1)], [06 ; p. 474.(20.41)], [07 ; p. 106, (20.4)] sous un autre angle que celui du principe de la covariance introduit dans [04 ; pp. 779-780, §B.].

*¹ : voir la preuve du fait que l'oeuvre originale se limite aux géométries symétriques dans [04 ; pp. 777-778, (1), (2) et (3)] et au niveau du paragraphe placé au dessous de ces équations.

^*2 : Je tiens à insister sur un détail technique inhérent à la démonstration conduite dans [04] ; stricto sensu, le formalisme de cette extension :

(i) ne concerne que les corps en chute libre,

(ii) n'est valable que lorsque :

• les φ (chez Christoffel : les composantes événementielles x_r, x'_α sont des fonctions scalaires (et non pas vectorielles) continues ;
• la métrique est symétrique.

Il serait donc judicieux de scruter :

(a) l'influence d'une force extérieure sur l'équation de la trajectoire du corps considéré ;

(b) le cas de fonctions vectorielles événementielles x_r(x'), x'_α(x) rendant compte de ruptures ou d'accidents éventuels dans les existences des corps (particules, ...) étudiées ;

(c) le rôle joué par des géométries quelconques contenant des asymétries.

Il existe en physique mathématique un exemple naturel et « académique » de la notion de produit tensoriel déformé puis décomposé, à savoir la version covariante de la loi de Lorentz, dite encore loi de Lorentz-Einstein et notée de manière abrégée LLE ; pour une charge électrique q de masse m :

 Les lecteurs désireux d’aller plus loin et de contrôler le travail qui suit devrait ne pas hésiter à lire l’article original d’E.B. Christoffel [02]. Ceci exigera de connaître l’allemand ou de se faire traduire le document. Le travail d’E. Cotton [03], écrit en fran\c{c}ais, pourra aider à défricher celui de Christoffel. 

Le fait de travailler sur le document original (historique) a l'avantage pédagogique :

1) ... de présenter la naissance des crochets de Christoffel de la première et de la seconde espèce qui prendront ensuite le nom de symboles de Christoffel de la première et de la seconde espèce ; 

2) ... de relier l’existence de ces symboles à un problème mathématique très précis ; à savoir : la préservation des différentielles homogènes du type suivant lors d’un changement de référentiel -ou de repère, dans la sémantique des espaces de dimension trois ; écriture originale [02 ; p. 47, (1)] dans laquelle il faut interpréter les « ∂ » par le symbole actuel de différentiation « d » : 

Cette problématique ou, plus exactement sa résolution, se révèlera être de la plus grande importance quelques années plus tard lorsque tour à tour Lorentz, Einstein et Poincaré tenteront de transcrire les résultats de l’expérience historique des physiciens Morley et Michelson [06].

Le rôle stratégique de ce travail dans le cheminement ayant mené A. Einstein vers la théorie de la relativité générale [04] est aujourd’hui connu de tous.

Important :

Je souhaiterai cependant ajouter ici que le travail original d’E.B. Christoffel ne restreint en rien la matrice [ω_ik] à forcément représenter la métrique de l’espace des discussions.

La coïncidence utilisée par A. Einstein pour construire son œuvre maîtresse n’est qu’un cas mathématique particulier d’application des travaux de Christoffel. 

© Thierry PERIAT

Page mise en ligne le 15 octobre 2026.

[01] Christoffel, E. B. : Contributeurs de Wikipédia, "Elwin Bruno Christoffel,"  Wikipédia, l'encyclopédie libre, https://fr.wikipedia.org/wiki/Elwin_Bruno_Christoffel (version du 24 avril 2026 22h59 consultée le 15 octobre 2026).

[02] Christoffel, E. B. : Über die Transformation der homogenen Differentiale Ausdrücke zweiten Graden; Journal für die reine und angewandte Mathematik, pp. 46-70, 3 Januar 1869. 

[03] Cotton, É. Sur les variétés à trois dimensions. Annales de la Faculté des sciences de l'Université de Toulouse pour les sciences mathématiques et les sciences physiques, Serie 2, Volume 1 (1899) no. 4, pp. 385-438. https://www.numdam.org/item/AFST_1899_2_1_4_385_0/

[04] Einstein, A. : Die Grundlage der allgemeinen Relativitaetstheorie; Annalen der Physik, vierte Folge, Band 49, (1916), N 7, pp. 769-822.

[05] Lichnerowicz, A. : Théories relativistes de la gravitation et de l'électromagnétisme ; collection d'ouvrage à l'usage des physiciens publièe sous la direction de G. Darmois et A. Lichnerowicz. © 1955 by Masson and Cie, Éditeurs.

[06] Mécanique des particules, champs : R. Lennuier, P.-Y. Gal, D. Perrin ; Collection U., © Librairie Armand Colin, Paris 1970.

[07] Fliessbach, T.: Allgemeine Relativitaetstheorie, 4. Auflage, , Spektrum Lehrbuch, ISBN 3-8274-1356-7, © 2003, 1998, 1995, Springer Akademischer Verlag GmbH, Heidelberg, Berlin, 2003; 343 S.