La première relationde Christoffel Analyse sous l'angle de la théorie des produits tensoriels déformés

 Dans ma conception, un cube est un ensemble ordonné de nombres ou, plus généralement, d’êtres mathématiques. L’ordonnancement est réalisé via des triplés d’indices. Un cube peut toujours conceptuellement se concevoir comme la superposition virtuelle de D matrices carrées (D-D), D étant un entier naturel non nul. Les détails concernant cette notion se trouve sur la page « cubes déformants ».

L'introduction de conventions d'écriture pertinentes permet parfois de clarifier le contenu de certaines relations mathématiques, bien mieux que ne le ferait un long exposé.

Inspiré par cette conviction, je construis le schéma ci-dessous pour aider à comprendre la discussion qui va suivre lorsque D = 4.

J'use ici de la convention dite « bra-ket » (synonyme : ligne - colonne) dûe à Dirac. Les ouvrages consacrés à la mécanique quantique en font largement usage.

Les acteurs en présence sont : 

• un vecteur x(x') dépendant d'un vecteur x'(x) qui lui-même dépend du premier ;
• la fonction dérivation partielle par rapport à une composante d'un vecteur.

Une matrice importante, à la fois en mathématique et à la fois en physique, siège au centre de ce schéma. Dans la littérature classique, il s'agit de la matrice de Jacobi J(x, x') .

Sa transposée peut se lire comme une table de Pythagore bâtie sur la composition des fonctions. 

J(x, x')^t = J(x', x) = T₂(o)(grad_x'(x) x(x'))

Par ailleurs, grâce à la théorie des développements limités, il est possible d'écrire :

J(x', x).| dx' > = | dx > 

...

Pour mémoire, dans ce qui suit x : (… x_i …), avec i ∈ I_D, représente une position dans un premier (ancien) référentiel tandis que x' : (… x’_α …), avec α ∈ I_D, représente cette même position dans un second (nouveau) référentiel.

Les premières relations de Christoffel [02 ; p. 49, (9)] introduisent clairement et naturellement ce que j’ai nommé un produit déformé (mouture originale) :

Le formalisme de cette relation mérite attention. Compte tenu des connaissances actuelles [02 ; p.48, (4), p.49, (7) and (8)], je peux identifier les {^..^.} avec les symboles de Christoffel de la seconde espèce.

Ce fait suggère d’interpréter le second terme de la somme placée à gauche de l’égalité comme la r-ème composante d’un produit tensoriel déformé par les symboles de Christoffel de la seconde espèce ; ceci permet d’écrire :

Dans ma sémantique un « cube » est juste un ensemble ordonné de nombre indicés par un triplé de nombres entiers. En ce sens, la relation proposée par E.B. Christoffel peut être vue comme impliquant trois sortes de cubes ; à savoir et de gauche à droite : 

(i) un cube bâti sur les composantes d'une Hessienne « classique » relatant les variations partielles d'ordre deux de la r-ème composante du vecteur x ; 

(ii) comme indiqué ci-dessus, un cube bâti à partir des symboles de Christoffel de la seconde espèce mesurés dans le premier référentiel et servant à définir un produit tensoriel déformé qui peut se comprendre comme le proto-type du terme gravitationnel ;

(iii) un cube bâti à partir des symboles de Christoffel de la seconde espèce mesurés dans le second (l'autre, le nouveau) référentiel et définissant quelque chose qui ressemble à la décomposition triviale d'un autre produit étendu.

Chacun de ces trois types de cubes est indicé par les entiers r, α et β.

S’il est raisonnable de penser ainsi en terme de cubes, alors en utilisant ici la notion de découpe virtuelle des cubes (voir la figure ci-dessus) permettant de les interpréter comme une superposition virtuelle de D matrices carrées (D-D), je peux transcrire la première relation de Christoffel sur les cubes en un ensemble de D opérateurs matriciels agissant sur les x_r(x'₀, ..., x'_{D - 1}) ≡ x_r(x'), r ∈ I_D, et finalement proposer le formalisme suivant :

A gauche comme à droite du signe de l'égalité - et pour chaque valeur de l'indice r, il s'agit bien de deux matrices de M(D, K) dont les composantes sont labelées par les paires (α, β) choisies dans I²_D. Compte des propos tenus plus haut, il s'agit aussi de :

L'observation attentive de cette formulation des relations de Christoffel invite à avancer l'hypothèse que, dans les conditions prévalant au développement des travaux d'A. Einstein exposés dans [02] et grâce aux propos tenus jusque-là, la validation des premières relations de Christoffel est équivalente à :

Je vais m'attarder un peu sur le contenu informatif et physique de cette équation. Plusieurs constats spontanés et intuitifs envahissent l'esprit :

(i) La validation des premières relations de Christoffel dans les circonstances précisées par A. Einstein correspond à l'égalité, au signe moins près, de deux cubes de nombres.

(ii) Le cube obtenu par superposition des D (r ∈ I_D) matrices placées à droite de l'Equ. (11) est celui des composantes des dérivées covariantes de rang deux par rapport aux D composantes de l'évènement x' des D composantes de l'événement x.

(iii) Le cube obtenu par superposition des D (r ∈ _ID) matrices placées à gauche de l'Equ. (11) est celui des composantes des D² produits tensoriels

• déformés par le cube de Christoffel mesuré par l'événement x,
• agissant sur les dérivées partielles d'ordre 1 réalisable sur les composantes de l'événement x par rapport aux composantes de cet évènement après un changement de référentiel lorsque ce changement préserve l'élément de longueur ds ; in extenso, dans l'oeuvre d'A. Einstein [04], lorsque :

(ds)² = g_ij.dxⁱ.dx^j = g_αβ.dx^α.dx^β = (d's')²

L'équation des géodésiques rappelée ici :

 ... symbolise un résultat physique majeur : il indique qu'un produit tensoriel déformé par un cube de Christoffel et agissant comme un carré sur la quadrivitesse d'un corps en chute libre est équivalent, au signe moins près, à l'accélération de ce corps dans le référentiel de la discussion.

Or les composantes des matrices placées à gauche de l'Equ. (11) sont celles de produits tensoriels déformés par un cube de Christoffel événementiel mesuré dans le référentiel du vecteur-évènement x et agissant sur ce qui pourrait s'appeler des vitesses relatives d'écoulement par rapport aux axes du référentiel dans lequel l'événementx est vu comme un évènement x'.

Par conséquent, si la logique qui a prévalu à l'établissement de l'équation des géodésiques au sein d'un référentiel reste applicable lorsque deux observateurs distincts placés en O et O' étudient le même évènement qu'ils définissent respectivement par x et x', alors lesdites composantes sont en principe celles d'accélérations concernant des écoulements relatifs.

Soit un produit tensoriel déformé du type apparaissant dans ces matrices, il est clair que :

Par conséquent, dans les conditions validant [02 ; p. 49, (9)] et [04 ; corps en chute libre] simultanément, l'Equ. (11) s'écrit aussi :

⊗_Γ(2)(dx, dx)_r = -<dx'|. {[A_αβ(x_r) ].| dx' >}

Il est permis de reconnaître ici la r-ème composante d'un vecteur proportionnel au terme gravitationnel, à condition de définir la quadri-vitesse par :

u = lim _{ds →0} (dx/ds)

© Thierry PERIAT

Page mise en ligne le 16 octobre 2026

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