Analyse alternativedu terme gravitationnel

 Les trois pages précédentes de ce chapitre ont été consacrées à un approfondissement de la compréhension de la loi de Lorentz-Einstein. Elles ont donné l'occasion de revenir sur la naissance du concept de dérivée covariante et elles ont permis de comprendre l'origine du terme gravitationnel présent au sein de l'expression de cette loi.

Les propos qui suivent s'attachent à prouver que tout n'a pas encore été dit sur cette loi ; que l'analyse menée jusque-là n'a pas encore pu extraire toute la substantifique moelle contenue dans son symbolisme mathématique. 

Par exemple, puisque le terme gravitationnel est un produit tensoriel déformé par un cube de symboles de Christoffel de la seconde espèce : « Pourquoi ne pas tenter d'interpréter la loi de Lorentz-Einstein comme une décomposition de ce terme ? » en écrivant :

Les mathématiques pures ne s'opposent bien entendu pas à ce réarrangement

... mais, et c'est là une question fondamentale :

« Ce réarrangement n'est-il pas en train de trahir le sens profond de ce qu'est une dérivation covariante

en isolant artificiellement la dérivée ordinaire de son complément gravitationnel ? »

1) La formulation classique de la loi de Lorentz est retrouvée lorsque la géométrie ne varie pas.

En effet, par convention, la géométrie est reliée à la métrique représentée par ses coefficients g_αβ et les variations de ceux-ci fournissent la définition des symboles de Christoffel.

Par conséquent, le cube symétrique des symboles de Christoffel de la seconde espèce s'annule lorsque la métrique est invariante :

⁽⁴⁾[G] = ⁽⁴⁾[Inv.] ∈ M(4, R) ⇒ Γ(2) = 0 ∈ ⊞⁺(4, R)

Il en découle la nullité du terme gravitationnel et la réduction de la loi de Lorentz-Einstein à son formalisme classique dans un espace de dimension quatre :

Dans l'état d'esprit de la théorie qui étudie les produits tensoriels déformés et leurs décompositions, cet ensemble de situations classiques rentre dans le cadre de l'exploration des décompositions des produits tensoriels nuls.

Mais à vrai dire, dans l'état d'esprit de la théorie qui étudie les produits tensoriels déformés et leurs décompositions, la paire ci-dessus signe la décomposition de n'importe quel terme gravitationnel, nul ou non.

2) Il existe d'autres sous-ensembles de situations méritant attention :

(i) Lorsque la charge électrique du phénomène physique qui est étudié est nulle (q = 0), la trajectoire suivie par ce phénomène est une géodésique ; voir les pages précédentes.

(ii) Lorsque le champ électromagnétique est nul, quelle que soit la charge électrique du phénomène physique étudié, la trajectoire suivie par ce phénomène est également une géodésique.

(iii) Lorsque le phénomène physique étudié a une charge électrique q non-nulle (q ≠ 0) sans avoir de masse (m = 0), alors :

[F(↑, ↓)].| ⁽⁴⁾u > = | ⁽⁴⁾0 >

Cette équation décrit un mouvement de type cyclotron lorque la métrique est celle d'un espace de Minkowski ; en effet, dans ce cas :

⁽⁴⁾[G] = ⁽⁴⁾[η] 

D'où il résulte :

< ⁽³⁾E, ⁽³⁾u >_Id3 = 0 ⇔ ⁽³⁾E ⊥ ⁽³⁾u 

u⁰.⁽³⁾E = ⁽³⁾H ∧ ⁽³⁾u 

c.q.f.d.

(iv)  Lorsque le phénomène physique étudié a une quadrivitesse nulle : ⁽⁴⁾u = ⁽⁴⁾0, quelle que soit sa masse m non nulle (m ≠ 0), le respect de la loi de Lorentz-Einstein l'oblige à avoir une (quadri-)accélération nulle. Concrètement : sa quadrivitesse reste nulle tout au long de l'abcisse curviligne s.

 En conclusion de ce § 1.2 :

• Soit le phénomène étudié a une masse nulle (m = 0) et il n'est pas vraiment nécessaire d'impliquer la théorie des produits tensoriels déformés puis décomposés ;
• Soit la masse de ce phénomène n'est pas nulle (m ≠ 0) et la loi de Lorentz - Einstein se laisse réécrire :

Et ce formalisme invite irrésistiblement les mathématiciens à se demander dans quelle mesure les variations de la géométrie (indirectement représentée par le cube des symboles de Christoffel) déterminent la décomposition du terme gravitationnel ?

Dans une région absolument vide dont la géométrie est invariablement celle de Minkowski représentée par la matrice [η] introduite ci-dessus, le cube symétrique des symboles de Christoffel de la seconde espèce est nul en permanence et partout.

Si, dans cette région, un champ électromagnétique non-nul existe :

∃ (⁽³⁾E, ⁽³⁾H) ≠ (0, 0)

...le raisonnement classique réexpliqué dans le livret « Le vide de J.C. Maxwell » dit que cette région est forcément parcourue par des courants de forces et il semble raisonnable de penser qu'elles perturbent probablement la géométrie à cause des énergies qu'elles portent. L'équation maîtresse de la théorie de la gravitation (alias de la relativité générale) renforce cette conviction puisqu'elle s'ecrit en général :

-(8.π.G/c⁴).[Impulsion-énergie] = [Riemann] + {-(1/2).R + Λ}.[G]

... et qu'une variation infinitésimale de la quantité d'impulsion-énergie va théoriquement se traduire par :

-(8.π.G/c⁴).[‍δT_λμ] = [δR_λμ] + {-(1/2).R + Λ}.[δG_λμ] - (1/2).δR.[G_λμ]

De sorte qu'en partant du principe que la condition initiale (le vide est parfait et absolu) se traduit par une absence totale d'impulsion et d'énergie ainsi qu'un tenseur de Riemann nul, l'équation maîtresse ne peut être validée que dans deux cas :

• La métrique est quelconque, pourquoi pas de Minkowski, et la constante cosmologique est nulle (Λ = 0) ;

• La constante cosmologique n'est pas nulle (Λ ≠ 0) et la métrique des régions vides est nulle ([G] = [0]) parce que dans le vide absolu il n'existe aucun moyen de se repérer et donc de mesurer des longueurs.

Dans le second cas, le passage d'une perturbation électromagnétique crée une géométrie sans courbure ([0] → [G] | R = 0) et l'équation maîtresse de l'état final s'écrit a priori :

-(8.π.G/c⁴).[‍δT_λμ] = Λ.[G_λμ] 

Mais elle est assujetie à une moyenne qui assure du fait que la région est en moyenne vide au sens actuellement donné à ce mot ; in extenso : cette région est rapportée à une métrique de Minkowski :

< -(8.π.G/c⁴).[‍δT_λμ] >  = Λ.[η_λμ] 

© Thierry PERIAT

Page créée le 21 octobre 2026